Признак Даламбера
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и записи известных сходящихся и расходящихся рядов признак Даламбера позволяет решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел 
, тогда ряд сходится при 
и расходится при
.
Доказательство:
Так как 
, то по определению предела для любого
найдется натуральное число 
такое, что при 
выполняется неравенство
или
(2).
Пусть. Можно подобрать 
так, что число 
. Обозначим 
. Тогда из правой части неравенства (2) получаем 
или 
. В силу свойств всех 3 числовых рядов можно считать, что 
для всех 
. Давая номеру 
эти значения получим целый набор неравенств:
………..
Т.е. члены ряда 
меньше соответствующих членов ряда 
, который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем 
. Но тогда на основании признака сходимости сходится и ряд 
. Следовательно, сходится и исходный ряд 
.
Пусть . В этом случае 
. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство 
или 
, т.е. члены ряда с увеличением номера возрастают, поэтому 
. На основании следствия из необходимого признака этот ряд расходится.
1) Если 
, то ряд 
может быть как сходящимся, так и расходящимся.
2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида 
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
. Находим 
. Так как 
, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.