Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

1) Объем тела

Как уже говорилось, объем цилиндрического тела можно найти по формуле , где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2) Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле для объема тела через двойной интеграл =1, то цилиндрическое тело превратить в прямой цилиндр с высотой Н=1. Объем такого цилиндра численно равен, как известно, площади S основания . При этом получится формула для вычисления площади S области .

3) Масса плоской фигуры

Пусть дана плоская пластина с переменной плотностью γ, которую можно записать как функцию .

Разобьем пластину на элементарные части , площади которых обозначим через . В каждой области возьмем произвольную точку . Если область достаточно мала, то плотность в каждой точке этой области мало отличаются друг от друга. Считая эту плотность в величиной постоянной мы можем найти массу : , а так как масса всей пластины , то можно записать . Точное значение m получим, как предел этой суммы при и , т.е. .

Статические моменты могут быть вычислены с использованием раннее полученных соотношений по следующим формулам: и , а координаты центра масс фигуры по формулам: и .