Вычисление двойного интеграла

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где непрерывна в . Тогда, как это было показано выше, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем используя метод параллельных сечений. Ранее мы показали, что , где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси ох, а , - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Положим сначала, что область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и и кривыми и , причем функции и непрерывны и таковы, что ≤для всех х. Такая область называется правильной в направлении оси оу. Любая прямая, параллельная оси оу, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси ох. . В сечении получим криволинейную трапецию АВС, ограниченную линиями , где , Z=0, и (рис.2). Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла. Теперь согласно методу параллельных сечений искомый объем цилиндрического тела может быть найден так: . С другой стороны, выше мы показали, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции ≥0 по области . Следовательно . Это равенство обычно записывают в виде : . Полученная формула представляет собой способ вычисления двойного интеграла. Правую часть называют двукратным или повторным интегралом функции по области . При этом называют внутренним интегралом. Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, затем берем внешний. Т.е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область ограничена прямыми , , кривыми , () для всех у. Т.е. область правильна в направлении оси ох, то рассекая тело плоскостью получим . Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем .

Пример. Вычислить , где ограничена линиями , , . ;