Свойства собственных значений и собственных чисел.
Матричная запись линейных операторов.
Понятие линейного оператора. Основные свойства. Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы.
Лекция 16.
Цель: Изучить понятия линейного оператора и его собственных чисел и собственных векторов, методы их нахождения.
Определение. Пусть и – линейные пространства размерности и соответственно, – будем называть оператором, действующим из и
, или , говорят что y – образ элемента x, а x – прообраз y.
Определение. Оператор , действующий из в называется линейным, если для и выполняются соотношения:
1. .
2. .
Если (комплексная плоскость), то – называют линейным функционалом. Если совпадает с , то – называют линейным преобразованием пространства.
Определение.Произведение λ на называется оператор λA определяемый равенством . , где нулевой оператор,
, противоположный оператор. - I – тождественный или единичный оператор.
Определение.Произведением оператора на называется оператор, для которого верны следующие соотношения :
1);
2);
3);
4);
5).
Определение.Операторназывается обратным для если, , обозначают .
Определение. Ядром линейного оператора называется множество всех элементов пространства , для которых : .
Определение.Образом линейного оператора называется множество элементов таких что : .
Определение.Рангом линейного оператора называется число равное .
Теорема. Пусть и пусть , тогда .
Фиксируем в линейном пространстве базис пусть – произвольный элемент и (разложение по базису ).
Пусть – линейный оператор . Тогда имеем ,
…,. . Пусть образы базисных векторов, тогда , т. е. , j=1,…,n, .
Рассмотрим матрицу линейного оператора в заданном базисе , это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов . Причем единственный линейный оператор , матрицей которого в заданном базисе будет матрица .
, - оператор.
При этом соотношения , , с одной стороны связывают образ с координатами прообраза , с другой стороны, описывают действие линейного оператора заданного матрицей A. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.
Пусть задан базис в пространстве и - новый базис, а U – матрица перехода от базиса , тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением: , т. к. , и , .
Определение. Число λ называется собственным значением если существует ненулевой вектор такой, что , при этом называется собственным вектором оператора . Т.к. , , тогда чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы . Многочлен называется характеристическим многочленом .
Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение .
Чтобы найти собственный вектор , соответствующий собственному числу необходимо решить систему .
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
4. Собственные векторы соответствующие собственным значениям различные линейно независимы.
5. Если характеристический многочлен n-ой степени оператора имеет n – различных корней, то в некотором базисе матрица оператора A имеет диагональный вид.
6. Для того чтобы матрица A линейного оператора в данном базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.
Определение. Линейный оператор называется самосопряженным, если для любых выполняется равенство: .