Вариационный ряд

Пусть имеется выборка объемом . Расположим результаты выборки в таблицу:

				…
				…

Где – значения случайной величины соответственно в испытаниях. Среди элементов выборки могут встречаться повторяющиеся. Объединив повторяющиеся значения случайной величины , получим следующую таблицу:

				…
				…

Здесь – число появлений значений . Величины называются частотами соответствующих значений случайной величины .

Очевидно, что:

(10.1)

т.е. сумма частот всех значений случайной величины равна объему выборки. Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой значения и обозначается . Очевидно, что:

(10.2)

Расположенная в порядке возрастания вариант последовательность пар чисел, составленная из вариантов и их частот называется статистическим или вариационным рядом.

Пример 10.1.

Рассмотрим в качестве изучаемого признака число продаж пар обуви в магазине в течение месяца для 20 продавцов: 16, 12, 15, 15, 23, 9, 15, 13, 14, 14, 21, 15, 14, 17, 8, 19, 13, 22, 17, 16.

Расположим значения признака в порядке возрастания: 8, 9, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 19, 21, 22, 23.

Составим вариационный ряд в виде таблицы:

Число продаж,

Число продавцов

Составим вариационный ряд относительных частот:

Число продаж,
Доля продавцов	0,05	0,05	0,05	0,1	0,15	0,2	0,1	0,1	0,05	0,05	0,05	0,05

Вариация признака может быть дискретной или непрерывной.

Определение 10.4. Признак называется дискретно варьируемым, если его отдельные значения (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (целое число).

Определение 10.5. Признаки, значения которых отличаются друг от друга на сколько угодно малую величину, (т.е. признак может принимать любые значения в некотором интервале) называются непрерывно варьирующими.

Примеры дискретных вариационных рядов, тарифный разряд рабочего, число преступлений, и. п. К непрерывно варьирующим признакам относятся среднедушевой доход, масса человека, дальность полета снаряда и т. п.

Построение вариационного ряда на основе непрерывно варьирующего признака путем перечисления всех возможных значений признака и их частот невозможно. Выход – группировка их в некоторые интервалы с определенными границами. В интервалах запись верхней границы предыдущего интервала совпадает с нижней границей последующего. Предполагается, что каждому интервалу принадлежит лишь один из его концов, либо во всех случаях левый, либо правый. Обычно данные, полученные в результате наблюдения непрерывно варьирующего признака, представляют в виде интервального вариационного ряда. Частоты в таком ряду относятся не к отдельным значениям, а ко всему интервалу.

Пример 10.2.

Менеджер большого универмага записал суммы денег, которые израсходовали184 покупателя, посетившие отдел верхней одежды в день сезонной распродажи по сниженным ценам. Зная минимальную и максимальную стоимость покупки, менеджер сгруппировал данные о суммах, израсходованных на покупки, в следующей таблице:

Интервалы расходов	100-300	300-500	500-700	700-900	900-1100	1100-1300
Число покупателей,
Доля покупателей,	0,163	0,207	0,272	0,168	0,120	0,070

Для выбора оптимальной величины интервала (при которой вариационный ряд с равными интервалами будет не очень громоздким) применяют формулу Стэрджеса:

(10.3)

где – число единиц совокупности, а и – соответственно наибольшее и наименьшее значения вариантов ряда.

Определение 10.6. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки:

(10.4)

Определение 10.7. Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. Положение медианы можно определить из соотношения . Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле:

, (10.5)

где – минимальная граница медианного интервала, – значение медианного интервала, – частота медианного интервала, – сумма всех накопленных частот, предшествующих медианному интервалу, – сумма всех частот.

Определение 10.8. Модой вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота. Расчетная формула для интервального ряда:

, (10.6)

где – минимальная граница модального интервала, – значение модального интервала, – частота модального интервала, – частота интервала, предшествующего модальному, – частота интервала, следующего за модальным.

Вариационные ряды графически могут изображаться в виде полигона или гистограммы.

Определение 10.9. Полигоном называется ломаная линия в осях координат , вершинами которой являются точки или , определяемые элементами статистического распределения (рис. 10.1 a).

Определение 10.10. Гистограмма – ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах так, что площадь каждого прямоугольника равна количеству вариант, соответствующих его основанию (рис. 10.1 b).

Гистограмма – это удобный способ представления частот сгруппированных данных в графическом виде.

Для характеристики свойств вариационного ряда наряду с понятием частоты часто используется понятие накопленной частоты.

Определение 10.10. Накопленные частоты показывают, сколько значений признака (или какая их доля) не превышает заданного значения .

Для интервального ряда – это сумма частот всех интервалов, предшествующих данному (включая данный). Накопленные частоты можно рассчитывать в восходящем порядке (частоты вариантов суммируются сверху вниз) и нисходящем (частоты вариантов суммируются сверху вниз). В приведенной ниже таблице показаны накопленные частоты.

Таблица 10.1

Интервалы расходов,	100-300	300-500	500-700	700-900	900-1100	1100-1300
Число покупателей,
Накопленные частоты в восходящем порядке
Накопленные частоты в нисходящем порядке