Нахождение Собственных векторов и собств значений.

Характеристическийй многочлен оператора

Инвариантные подпространства

Свойства Собственных векторов и собств значений

Собственные вектора и собственные значения

Опр. Не нулевой вектор х называется собственным векторомоператора А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах= λх, число λ называется собственным значениемоператора А.

 

  1. Каждому собственному вектору соответствует только одно собств значение

Док-во: предположим противное Ах=λх, Ах=λ1х вычитая их друг из друга получим 0=(λ-λ1)х значит λ=λ1

  1. Если х собственный вектор отвеч λ то и aх также собственный вектор отвеч λ.

Док-во: Пусть Ах=λх тогда А(aх)= aАλх=aλх=λ(aх) т.е. А(aх) =λ(aх)

  1. Если х1 и х2 собствен вектора отвеч λ то их сумма х1+х2 также собственнй вектор

Док-во: Ах1=λх1, Ах2=λх2 тогда А(х1+х2)=Ах1+Ах2=λх1+λх2=λ(х1+х2)

 

Более общее св-во: Если х1,х2,,,хк- собств вектора, отвеч λ то любая их линейн комбин также собственный вектор отвеч λ.

  1. Собств вектора отвеч различным собственным знач линейнонезависимы

Докажем для 2-х векторов: Ах=λ1х Ау=λ2 у λ1¹λ2 Покажем что х и у лин независимы Предположим противное т.е. что они зависимы тогда у=λх Из св-ва (2) следует что у отвечает собственному знач λ1(противоречие).

В общем случ док-ся методом мат индукции.

Подпр-во L1ÎL наз инвариант подпростр оператора А если "хÎL1, АхÎL1. Из св-в (2) и (3) следует что множество векторовотвечающих одному собств знач λ образ инвариантное пр-во.

 

Характеристическийй многочлен оператора А называется определитель det| A - λE| где А матрица оператора в некотором базисе В n-мерном пр-ве характерист многочлен явл многочлен степени n относительно λ

 

Характеристич уравнением называется Ур-е D λ =det| A - λE|

 

Теорема(инвариантность характеристич многочлена): Характеристическийй многочлен не зависит от выбора базиса

Док-во: Пусть А и А’=Т-1АТ матрицы операторов в разл базисах. Т – матрица перехода.

det(A’ - λE) = det(T-1AT - λT-1T) = det[T-1(A - λE)T] = detT-1det(A - λE)detT = det(A - λE).

Det(A’ - λE) = det(A - λE)

 

Теорема: Если оператор А имеет собственное значение, то они явл корнями характиристич многочлена

 

Пусть Ах=λх (1) это рав-во можно записать в виде (А-λЕ)х=0 (2). В коорд записи ур-е (2) есть система однородн линейных уравнений Эта система имеет не тривиальное решение если опред матрицы системы = 0 (Из Т Крамера). Отсюда det| A - λE|=0 т.е. λ – корень характеристич многочлена.

 

В вещ пространстве оператор А может не иметь собств знач т.к. корни характеристич многочлена могут быть комплексными.