Равнодействующая, центр параллельных сил, центр тяжести.
Эквивалентные воздействия
Эквивалентными воздействиями в теоретической механике называют воздействия, которые при замене одной системы воздействий на другую не изменяют движения (в частности, состояния покоя) тела.
Если рассматривается твердое тело, то есть тело, находящееся в покое или совершающее жесткое движение, то, как следует из законов механики, необходимыми условиями эквивалентности являются равенства главных векторов и главных моментов воздействий.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в учебных задачах статики случаи равномерно и линейно-распределенной нагрузки.
| A |
| y |
| Zz |
| X |
| Xy |
| y |
| A |
| Z |
В случае равномерно - распределенной нагрузки ее линейная плотность (сила на единицу длины) , для линейно-распределенной . Найдем главные векторы и проекции на ось Z главных моментов относительно, например, точки А.Имеем
.
Полученные формулы показывают, что для быстрого составления уравнений равновесия удобно заменить распределенные нагрузки сосредоточенными силами . Собственно говоря, применение эквивалентности на этом и заканчивается.
Замечание 1.
В учебных задачах на равновесие систем тел необходимым элементом является определение реакций в соединениях этих тел, например, в шарнирах.
Для получения правильного результата следует заменить распределенную нагрузку на участках по разные стороны от шарнира сосредоточенными силами , но не на одну силу (см. рис.).
Замечание 2.
Попытки придать понятию «эквивалентность» некий универсальный смысл, распространив его и на произвольную систему материальных точек [2] и тем самым на деформируемое тело вообще лишены смысла, поскольку в этом случае понятие эквивалентности сводится лишь к замене одной силы в точке на сумму сил в этой же самой точке.
Воздействия (силы и моменты) характеризуются главным вектором сил и главным моментом относительно произвольной опорной точки. Запишем формулу, связывающую моменты относительно двух точек – опорной точки и так называемой точки приведения
. (1)
| A |
| ⦁ P |
(2)
.
Рассмотрим систему параллельных сил где проекция на направление, задаваемое вектором . Главный вектор и главный момент перпендикулярны, поэтому система приводится к равнодействующей. Покажем, что в этом случае на прямой (2) существует такая точка приведения , называемая центром параллельных сил, положение которой не изменяется при повороте всех сил на произвольный угол (точки приложения сил не изменяются).
Подставляя выражения и в (2) и раскрывая двойное векторное произведение, получим
.
Чтобы это выражение не зависело от направления сил (вектора ), надо положить
и тогда положение центра параллельных сил задается формулой .(3)
Частный случай параллельных сил – силы тяжести, действующие на точки тела. Если тело небольшого размера, то можно пренебречь различием в направлении сил (к центру Земли) и различиями в величине сил ввиду разного расстояния до центра Земли. Тогда центр тяжести совпадает с центром масс
.
Оценим различие в положениях центра масс и центра тяжести «высокого» тела.
Пример. Центр тяжести небоскреба.
| dz |
| R |
| z |
. Координата центра тяжести
.
Заменяя , получим . Для высоты получим, что центр тяжести ниже центра масс всего лишь на
Глава 3. Кинематика точки
| A |
| • |
Траекторией называется кривая, по которой движется точка, скоростью – производная по времени вектора положения R , ускорением - производная от вектора скорости
. (3.1)
Из определения производной вектора следует, что вектор скорости направлен по касательной к траектории. Собственно говоря, формулами (3.1) вся кинематика точки и исчерпывается; все технические трудности связаны лишь с выбором системы координат.
Упражнение 1. Исходя из определения производной вектор-функции от скалярного аргумента показать, что
1) (производная скалярного произведения)
2) (производная векторного произведения
3) Если , то ^ (продифференцировать квадрат модуля, равный ).