ВУЗЛОВИХ НАПРУГ

Лабораторна робота № 7

РОЗРАХУНОК ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ МЕТОДОМ

Мета роботи: освоїти розрахунок лінійних електричних кіл методом вузлових напруг.

 

1. Стислі теоретичні відомості

 

Метод вузлових напруг(вузлових потенціалів) є найбільш загальним і широко застосовується для розрахунку електричних кіл. Він базується на ЗСК і законі Ома, і дозволяє понизити число вирішуваних рівнянь до величини, визначуваної рівністю: n = пу - 1. У основі цього методу лежить розрахунок напруги в (пу - 1)-м вузлі кола щодо базисного вузла. Після цього на підставі закону Ома знаходимо струми або напруги у відповідних гілках.

Покажемо, що струми і напруги в електричному колі можна знайти, якщо буде відома напруга у всіх вузлах кола, відлічених щодо деякого одного вузла кола, званого базисним вузлом (вузлом відліку або опорним вузлом). Для цього розглянемо представлену на рис. 7.1 частину схеми деякого резистивного кола, на якому зображено три вузли кола і резистори, що сполучають ці вузли між собою.

Нехай вузол 0 буде базисним вузлом, щодо якого знайдені значення напруги u1 і uк. Після цього знаходимо напругу uміж вузлами 1 і k; при вказаному на рисунку виборі позитивних напрямів напруги u = и1uk.. Струми ж у виділених елементах кола при узгодженому виборі їх пози- Рисунок 7.1 тивних напрямів визначаються із співвідношень:

i10= G10 u1,

i1k= G1k u1k = G1k (u1 - uk); (1)

ik0 = Gk0uk.

 

Так само визначаються струми в будь-яких гілках кола і напруги між будь-якою парою вузлів кола. Напруги у вузлах кола, відлічені щодо базисного вузла, називатимемо вузловими напругами. Метод аналізу коливань в електричних колах, в якому змінними системи рівнянь аналізованого кола вибрані вузлові напруги, називається методом вузлових напруг.

Переходячи до викладу цього методу, припускаємо, що коло, для якого повинні бути складені рівняння, має n = пу – 1 головних (незалежних) вузлів і містить крім резисторів лише незалежні джерела струму. Пронумеруємо вузли і складемо рівняння для струмів в кожному з вузлів кола, виключаючи базисний, тобто складемо систему з n рівнянь. При цьому струм в гілці між kі l-м вузлами позначатиме ikl, провідністьгілки, що зв'язує ці вузли, Gkl, а задавальний струм джерела струму, який може бути підключений до k-го вузла, ik. Останній передбачається відомим і характеризує дію на коло. Тоді для вузла 1 кола (рис. 7.2) i10+ i12+ + i13 +…+ i1ni1= 0.

У це рівняння, як і раніше, струми, додатні напрями яких орієнтовані від вузла, входять із знаком «+», причому вважається, що вузол 1 кола пов'язаний зі всіма іншими вузлами (загальний випадок). Але згідно (1): i10 = G10u1; i12 = G12(u1u2); i13 = G13(u1u3) та ін. Отже, G10u1 + G12(u1u2) + G13(u1 u3) + …+ G1n(u1un) – i1 = 0.

Якщо в цьому рівнянні розкрити дужки і привести подібні члени, то воно запишеться у вигляді:

Рисунок 7.2

 

(G10 + G12+ G13+ ... + G1n)u1Gl2u2, Gl3u3–...– G1nun = i1.

 

B ліву частину цього рівняння входять n доданків, пропорційних вузловим напругам u1, u2, u3, ... un. Коефіцієнт при напрузі вузла 1, для якого складається рівняння, є арифметична сума провідності гілок, підключених до цього вузла. Кожне з решти доданків лівої частини рівняння є добуток провідності гілки, що пов'язує k-йвузол з першим, на вузлову напругу k-го вузла. Ці доданки входять в рівняння із знаком «–». Аналогічно знаходяться і рівняння для всіх інших вузлів кола.

Таким чином, система рівнянь, складених по методу вузлової напруги, має вигляд:

G11u1G12u2G13u3–...– G1nun = i1;

– G21u1+ G22u2 G23u3 –... –.G2NuN = i2; (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G N1u1– GN2u2 GN3u3 –... +.GNNuN = iN.

 

У системі рівнянь (2): Gkk – арифметична сума провідності всіх гілок, підключених одним із затисків до k-говузла кола і називають її власною провідністю k-го вузла кола; Gkl провідність гілки, включеної між k-м і l-мвузлами кола і називають її взаємною провідністю k-гоі l-говузлів кола; ik – в загальному випадку алгебраїчна сума задавальних струмів джерел струму, підключених одним із затисків до k-го вузла кола; доданки цієї суми входять в праві частини рівнянні із знаком «+», якщо додатний напрям задавального струму джерела орієнтований убік k-го вузла, і із знаком «–» – від нього. Цю суму називають задавальним струмом k-говузла кола.

Отримана таким чином лінійна неоднорідна система алгебраїчних рівнянь дозволяє знайти шукану вузлову напругу, оскільки рівняння системи незалежні. Її частіше всього називають системою вузлових рівнянь.

Для прийнятого запису системи вузлових рівнянь характерне розташування заданих функцій часу ik в правих частинах, а невідомої вузлової напруги uk – в лівих. При цьому невідомі входять в рівняння з послідовно зростаючими індексами, а рівняння розташовуються відповідно до порядкових номерів вузлів. Таку форму запису вузлових рівнянь називають нормальною, або канонічною (складеною за певним правилом, каноном). Викладені правила складання вузлових рівнянь справедливі ідля кіл із залежними джерелами струму, тобто ДСКН і ДСКС. У рівняннях до того ж з'являються додаткові доданки, обумовлені взаємною провідністю між вузлами через залежні джерела.

Метод вузлових напруг можна застосовувати і коли в колі крім або замість джерел струму є джерела напруги, у тому числі і залежні. У простому випадку, який найчастіше зустрічається в задачах аналізу мікроелектронних кіл, всі джерела напруги одним зі своїх затисків підключені до базисного вузла. Але тоді вузлові напруги тих вузлів, до яких приєднані інші затиски джерел, відомі і дорівнюють їх задавальним напругам. Відповідно зменшується і число незалежних вузлових рівнянь до величини

 

N = Ny – 1 – Nн, (3)

 

де Nн – число джерел напруги, наявних в колі. Але, якщо вузлова напруга деякого, наприклад k-го вузла відома і дорівнює задавальній напрузі джерела, то в решті всіх рівнянь відомі доданки Gkl і иk.. Їх, як задані величини, слід віднести до вільних членів відповідних рівнянь.

Формула (3) справедлива і коли в колі є джерела напруги, жоден із затисків яких не сполучений з базисним вузлом. У цих випадках перед складанням рівнянь в схемі кола слід перейти від джерел напруги до джерел струму, використовуючи відомі еквівалентні перетворення джерел енергії.

 

 

2. Завдання для самостійної роботи

 

Для електричних кіл, схеми яких зображені на рисунках 7.3¸7.7 методом вузлових напруг розрахувати напруги і струми усіх гілок. Параметри елементів схеми приведені для кожного рисунку.

Варіанти індивідуальних завдань задаються викладачем.

Варіанти індивідуальних завдань

а) б) в) г)

Рисунок 7.3

Параметри елементів:

R1 = 1 кОм, R2 = 2 кОм, R3 = 3 кОм, R4 = 4 кОм,

i5 = 5 мА, i6 = 10 мА, u5 = 10 В, u6 = 5 В.

Рисунок 7.4 Рисунок 7.5

 

Параметри елементів: Параметри елементів:

R1=R2=5 кОм, R3=4 кОм, R4=1 кОм, R1 =1 кОм, R2 =2 кОм, R3 =3 кОм,

R5 = 1.2 кОм, u6 = 20 В. R4 =4 кОм, R5 =1 кОм, R6 =2 кОм,

R7 =3 кОм, R8 =4 кОм, u9 = u10 = 5 В,

u11 = u12 = 15 В, u13 = 10 В.

 

 

Рисунок 7.6 Рисунок 7.7

 

Параметри елементів: Параметри елементів:

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 =1 кОм, R1 = R3 = 1 кОм, R2 = R4 = 2 кОм,

u7 = u8 = u9 = 2 В, u10 = 4 В. R5 = 3 кОм, u6 = 8 В, u7 =12 В.

 

Примітка:

Результати розрахунків перевірити за допомогою пакету комп’ютерного модулювання Multisim 8.

 

3. Порядок оформлення звіту

 

1. Постановка завдання і мета роботи.

2. Хід виконання роботи.

3. Таблиці, графіки, результати розрахунків.

4. Висновки.

 

4. Контрольні питання

1. Сформулюйте перший і другий закони Кірхгофа.

2. Як визначається кількість лінійно-незалежних рівнянь, що складаються за першим і другим законами Кірхгофа?

3. Що таке власна провідність вузла і взаємна провідність між вузлами?

4. Визначте порядок розрахунку кіл методом вузлової напруги; число незалежних рівнянь, що складаються по методу вузлової напруги.

5. Визначте порядок розрахунок напруг і струмів гілок за відомими вузловими напругами.

6. У чому полягає особливість вибору базисного вузла при наявності в колі джерел напруги?