Принципи геостатистичного моделювання

Локально-стохастичні методи просторової інтерполяції і геостатистичне моделювання

У геостатистичному моделюванні передбачається, що властивості точок простору (або комірок растра, якщо йдеться про растрову модель просторових даних) – це просторова реалізація деякої випадкової величини. У більшості випадків приймається, що розподіл цієї випадкової величини підпорядковується нормальному закону розподілу. При цьому в основу просторового аналізу даних і побудови (моделювання) безперервних поверхонь на основі дискретних наборів емпіричних даних з використанням процедур локально-стохастичної інтерполяції, відомих під загальною назвою «кригінг» (або «крайгінг») (на честь південно-африканського гірничого інженера Д.Дж. Кріге (D.G.Krige), в геостатистиці прийнято уявлення про регіоналізовану змінну.

Теорія регіоналізованої змінної (Burrough, McDonnel, 1998) припускає, що просторові зміни деякої змінної z(x), де x– узагальнене позначення координатпростору х,у, можуть бути виражені як сума трьох компонент (рис. 8.3): 1) структурної компоненти, яка має постійне значення або тренд (детермінована складова); 2) випадкової, але просторово корельованої компоненти, яка є місцевими відхиленнями змінної від тренда, що, власне, і називається «регіоналізованою змінною»; 3) просторово некорельованого випадкового шуму або залишкової похибки. Тоді значення випадкової змінної z в точці x задається виразом:

z(x) = m(x) + e’(x) + e’’, (8.5)

де m(x)– детермінована функція, що описує “структурований” компонент z в х (тренд); e’(x) – складова, що представляє локальні стохастичні, але просторово корельовані відхилення від m(x) – регіоналізована змінна, і e’’- залишок, просторово незалежний гауссівський шум, що має нульове середнє і дисперсію s².

У найпростішому випадку, коли тренд відсутній, m(x) рівняється середньому значенню в межах обстеженої площі, а середня або очікувана різниця між двома місцеположеннями х і х+h, розділеними відстанню h,буде дорівнювати нулю:

E[z(x) – z(x +h)]= 0, (8.6)

де z(x), z(x + h) – значеннявипадкової змінної z в точках х і х + h; E[] – математичне очікування змінної, яка стоїть в квадратних дужках. При цьому дисперсія різниці значень змінної в точках простору, розділених h, залежитьтільки від відстані між цими точками, тобто

E[z(x) – z(x + h)] ² = E[{e’(x) – e’(x + h)}] ² = 2g(h), (8.7)

де g(h) – величина, відома як напівдисперсія (або семіваріація).

Висновки, одержані в припущенні, що тренд відсутній, справедливі і для випадку, коли тренд є, але він виключений з використанням функції, що його описує. У зв’язку з цим перший крок геостатистичного аналізу – знаходження функції для опису трендової поверхні (m(x) = f(x)). Після того як детермінований ефект врахований, залишкова варіація є гомогенною і різниця між місцеположеннями є тільки функцією відстані між ними.

У тому випадку, якщо сформульовані вище умови щодо структурованого компонента змінної виконуються, напівдисперсія може бути визначена за вибірковими даними за виразом:

(8.8)

де n – кількість пар точок вимірювань значень змінної z, розділених відстанню h.