Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Означення 3. Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попереднього, називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд:

(33.1)

Загальний член ряду (33.1) де .

Теорема 2 (Лейбніца).Якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок 1.Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий само, як і знак першого члена ряду (на рис. 33.1 ).

Геометрична інтерпретація

Рис. 33.1

Наслідок 2. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує першого члена ряду, тобто (на рис. 33.1) 0< S <a₁).

Наслідок 3.Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів, тобто .

Наслідок 4.Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца , то ряд розбігається (не виконується необхідна умова збіжності).

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду Лейбніца

Загальний член ряду почергово змінює знак, отже, ряд Лейбніца — знакопочерговий. Обидві умови теореми Лейбніца для цього ряду виконуються:

1)

2) .

Таким чином, ряд Лейбніца буде збіжним, але збіжність умовна, бо ряд із абсолютних величин: — гармонічний ряд, що розбігається.

Завдання. Дослідити збіжність ряду .