Линейные отображения

Понятие отображения множеств играет важную роль во всех областях математики.

Определение 1. Пусть Х и Y – некоторые множества и . Если каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент , то говорят, что задано отображение из Х в Y с областью задания А.

Отображения обычно обозначают малыми латинскими буквами .

Пример 1. Пусть Х – множество натуральных чисел, . Каждому числу поставим в соответствие остаток от его деления на 2: . Получим отображение из Х в множество действительных чисел R, при котором каждому соответствует либо 0, либо 1.

Множество Х называют также множеством отправления, а множество Y – множеством прибытия.

Определение 2. Элемент , соответствующий элементу в отображении f, называется образом элемента х и обозначается . При этом сам элемент х называется прообразом элемента у. Если А – область задания при отображении f, то множество называют образом множества А при отображении f или областью значений отображения f.

Определение 3. Если область задания совпадает с областью отправления, т.е , то f называют отображением Х в Y обозначают . Если , то f называют отображением Х на Y.

Определение 4. Отображение называется обратимым, если разным элементам соответствуют различные элементы , т.е. для любых имеем .

Например, отображение с областью задания R не является обратимым, так как и , т.е. , хотя .

Определение 5. Обратимое отображение Х на Y называется взаимно однозначным отображением.

Введенные понятия проиллюстрируем рисунками.

Пусть f – обратимое отображение из Х в Y с областью задания А. Тогда каждому элементу соответствует один и только один элемент , причем разным элементам соответствуют различные элементы у. Поэтому определено отображение множества в Х (на А). Определено так, что .

Определение 6. Если отображение f из Х в Y обратимо, то отображение из Y в Х, определяемое соотношением , называется обратным к f .

Пусть теперь f – отображение Х в Y, а g – отображение Y в Z. Определим отображение Х в Z следующим образом: . Таким образом, , то есть . Такое отображение называется композицией отображений f и g и обозначается . Итак, для всех

.

Операция композиции отображений обладает следующими свойствами.

1) Ассоциативность:

.

Действительно, если , то

и .

2) Если отображения и обратимы, то и их композиции обратима, причем

.

Действительно, пусть и . В силу обратимости f . В силу обратимости g и, значит, отображение обратимо. Если , то , а , то есть , что и требовалось доказать.

Если вместо произвольных множеств Х и Y рассмотреть линейные пространства L и , а на отображения наложить дополнительные условия, то получим линейные отображения.

Определение 7. Отображение линейного пространства над числовым полем Р в линейное пространство над тем же полем Р называется линейным, если выполнены условия:

1) Для любых

.

2) Для любых

.

Заметим, что линейное отображение определяется только в том случае, когда оба линейных пространства являются линейными пространствами над одним и тем же полем. Условия, указанные в определении можно заменить одним условием

для любых . Это соотношение распространяется на линейные комбинации с любым числом слагаемых

,

где .

Линейные отображение в функциональном анализе называют линейными операторами. В магистратуре они изучаются более подробно.

Пример 2. а) Пусть – некоторое фиксированное число из поля Р. Отображение линейного пространства L над полем Р в себя, согласно которому при любом

является линейным. Действительно, для любых имеем на основании определения 2 § 4.

б) Отображение линейного пространства L в линейное пространство , при котором при любом , где – нуль в пространстве , является линейным. Действительно, для любых имеем + +=.

Пусть два линейных пространства L и конечномерны. Зафиксируем в каждом из них базис для L и для . Пусть – некоторое линейное отображение L в .

Каждый элемент w из L единственным образом представим линейно через базис:

.

Так как

,

то будет вполне определено, если определены . Эти элементы мы можем выразить линейно через базисные элементы :

,

,

. . . . . . . . . . . . . .

.

Из этого следует, что при заданных базисах в L и матрица коэффициентов

вполне определяет линейное отображение .

С другой стороны, если нам задана произвольная матрица размера с элементами, являющимися числами из Р:

,

то для нее можно построить линейное отображение , которому эта матрица будет соответствовать указанным выше образом: .

Это отображение строится следующим образом. Для произвольного элемента

из L полагаем

()+

+()+

.

При этом для имеем а другие , поэтому

(k = 1, 2, …, m).

Это означает, что матрица , соответствующая построенному линейному отображению, (линейность проверяется без труда) совпадает с А.

Таким образом, между линейными отображениями L в и всевозможными матрицами размера , элементы которых принадлежат Р, установлено взаимно однозначное соответствие. При этом соответствие таково, что по матрице легко восстанавливается линейное отображение, ей соответствующее.

Заметим, что описанное соответствие устанавливается после того, как в L и выбраны базисы. Если в этих пространствах выбраны другие базисы, то с их помощью получится новое соответствие между линейными отображениями и матрицами.

В частном случае, когда = L, т.е. рассматривается линейное отображение пространства L в себя, называется линейным преобразованием пространства L.

Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ