Р е ш е н и е
И с х о д н ы е д а н н ы е
Пример расчета
Часть 1. Расчет геометрических характеристик плоского сечения
Выбираем исходные данные из табл. 3.1, рис. 3.6 и 3.7 согласно индивидуальному шифру студента. В примере рассматриваем схему, показанную на рис. 3.8.
Рис. 3.6.
Рис. 3.7.
Рис. 3.8.
Значения величин геометрических параметров и величин для стандартных профилей выбираем из таблицы сортамента (Прил. 2).
| 
|
Уголок № 10
 см2
 см4
 см4
 см4
 см
| Швеллер № 30
 см2
 см4
 см4
 см
|
Вычерчиваем схему сечения в масштабе M1:2 (рис. 3.9). Проводим центральные оси фигур, составляющих сечение: 
– прямоугольник, 
– швеллер, 
– уголок. При этом оси 
являются главными, а оси 
главными не являются.
Рис. 3.9.
Примечание: Все линейные размеры в [см].
Таблица 3.2
| № фигуры | Площадь
 , см2
| Координаты центров тяжести относительно осей  ,  , см
| Статические моменты относительно осей z3, y3, см3 | Координаты центров тяжести относительно осей  ,  , см
| |||
| 
| 
| 
| 
| 
| ||
| I полоса | 80,0 | 12,91 | 29,09 | 2327,2 | 1032,8 | 4,17 | 9,43 |
| II швеллер | 40,5 | 5,43 | 12,09 | 489,6 | 219,9 | -3,31 | -7,57 |
| III уголок | 22,8 | -8,74 | -19,66 | ||||
| 143,3 | 2816,8 | 1252,7 |
Продолжение таблицы 3.2
| № фигуры | Моменты инерции, см4 | ||||||||
| 
| 
| |||||||
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| |
| I полоса | 106,7 | 7220,7 | 2666,7 | 1391,1 | 4057,8 | 3145,8 | 3145,8 | ||
| II швеллер | 232,08 | 8130,8 | 443,7 | 770,7 | 1014,8 | 1014,8 | |||
| III уголок | 8812,6 | 9021,6 | 1741,6 | 1950,6 | 3917,7 | 4039,7 | |||
1. Определяем положение центра тяжести сечения.
В качестве базовых осей, относительно которых подсчитывали статические моменты, приняты оси 
и 
.
1.1. Определяем положение центра тяжести по формулам:
Вычисления можно проводить в табличной форме (см. табл. 3.2).
В столбцы 1-4 заносим данные для расчета, а в столбцы 5-6 – результаты расчета (табл. 3.2).
1.2. Отмечаем на чертеже точку С с координатами 
; 
– данная точка является центром тяжести сечения.
2. Определяем положение главных осей инерции. Проводим через точку С оси 
параллельно базовым осям 
Оси – центральные оси и необходимы для определения положения главных осей инерции.
2.1. Определяем координаты фигур в новых координатных осях и заносим их в столбцы 7 и 8 табл. 3.2.
2.2. Определяем значения моментов инерции сечения 
относительно центральных осей 
. вычисляем в столбцах 9-17 моменты инерции относительно осей 
При этом момент инерции рассматриваемого элемента сечения относительно оси 
складывается из собственного момента инерции элемента относительно оси 
и его переносного момента инерции относительно оси , равного произведению площади данного элемента на квадрат расстояния от его собственной оси 
до центральной оси всего поперечного сечения .
Следовательно, осевой момент инерции сечения относительно оси будет равен
,
где 
– собственный момент инерции i-й фигуры; 
– переносный момент инерции i-й фигуры.
Прямоугольник имеет собственный момент инерции
;
.
Для швеллера №30 
, 
для уголка 100х100х12 
в соответствии с таблицей сортамента.
Переносные моменты инерции для прямоугольного элемента, швеллера и уголка равны (см. рис. 3.8 и табл. 3.2).
,
,
,
.
Аналогично определяются момент относительно оси 
и центробежный момент относительно осей 
.
.
Центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей z1, 
у1 и 
равен нулю, т.е. 
, поскольку оси z1, у1 и – главные (оси симметрии). 
, так как оси 
центральные, но не являются главными.
Относительно главных центральных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю по определению, а относительно центральных осей, не являющихся главными.
Поэтому для определения 
воспользуемся формулой преобразования центробежного момента инерции при повороте осей
.
Моменты инерции уголка относительно главных осей берем из таблицы сортамента: Ju = 331 см4, Jυ = 86,9 cм4, Juυ = 0.
Чтобы ось u совпала с осью Z3, надо совершить поворот на угол 
. Положительным углом поворота считается угол поворота против часовой стрелки. Тогда
.
Получим
.
При расчете в табличной форме сначала заполняем столбцы 7,8, затем результаты расчетов заносим в столбцы 9-17 (табл. 3.2).
2.3. Определяем положение главных осей инерции всей фигуры
;
; 
.
Откладываем на чертеже угол 
в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке, на рис. 3.9 он показан стрелкой. Сейчас проводим через точку С главные оси Z и Y.
3. Определяем главные моменты инерции
;
.
Для контроля правильности расчетов делаем проверку.
Проверка 1.
Проверка 2.
4. Осуществляем необходимые построения, измерения, вычисления для нахождения:
4.1. Моментов сопротивления. Из чертежа видно, что наиболее удаленными от осей zOy точками являются точки А и В. Линейкой измеряем координаты и отмечаем на чертеже
Ymах = 13,0 см; Zmах = 7,0 см.
Величина моментов сопротивления
; 
.
4.2. Главных радиусов инерции
; 
;
4.3. Эллипса инерции
Откладываем значения радиусов инерции вдоль главных осей, причем iz откладываем вдоль оси Y, а iy – вдоль оси Z и на этих отрезках, как на полуосях, строим эллипс (рис. 3.9).
Часть II. Определение допускаемой нагрузки на балку