Р е ш е н и е

Пример расчета

И с х о д н ы е д а н н ы е:

м;	;	МПа;
м;	;	МПа;
м;	МПа;	см;
м;	МПа;	;
м;	кН;	град^-1

1. Подбор сечений стержней по заданной внешней нагрузке

(определение грузоподъемности системы)

1.1. Вычерчиваем в масштабе расчетную схему и проставляем на чертеже все размеры и обозначения (рис. 1.2).

1.2. Убедимся, что рассматриваемая стержневая система является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных: это продольные силы N₁ и N₂ в двух деформируемых стержнях и две опорные реакции R_A и Н_А вшарнирно неподвижной опоре А. Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых уравнений статики для данной системы равно 3. Система является один раз статически неопределимой.

Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

В соответствии с методом сечений рассечем стержни 1 и 2 и, отбросив части стержней, заменим их внутренними усилиями – продольными силами N₁ и N₂(рис. 1.3), направления которых определим из следующих соображений: от действия внешней силы Р жесткий стержень наклоняется вниз, при этом первый стержень растягивается и в нем возникает внутреннее усилие N₁, а второй стержень сжимается и в нем возникает внутреннее усилие N₂.

1.3. Чтобы составить уравнение равновесия, нарисуем план сил (рис. 1.3). Поскольку возникающие в шарнире реакции R_A и Н_А неизвестны, то полезным уравнением равновесия в данном случае является только уравнение суммы моментов относительно шарниров:

. (1.1)

1.4. Для составления уравнения совместности деформаций необходимо рассмотреть деформированное состояние системы (рис. 1.4). Под действием внешней силы Р жесткий стержень AD повернется относительно шарнира по часовой стрелке на некоторый малый угол. При этом все точки этого стержня опишут дугу окружности. Поскольку деформации, рассматриваемые в сопротивлении материалов, считаются малыми, заменим эти дуги перпендикулярами. Таким образом, новое положение жесткого стержня AD будет AD₂ , а точки B и С, как точки жесткого стержня, займут положение B₂ и C₂.

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

С другой стороны, точки B и С являются точками стержней, которые деформируются. Первый стержень удлиняется на (отрезок BB₁) и поворачивается (перпендикуляр B₁B₂), а второй стержень укорачивается на (отрезок СС₁) и поворачивается (перпендикуляр С₁С₂).

Геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней и , получим из рассмотрения плана перемещений (см. рис. 1.4).

Из рассмотрения треугольников ABB₂ и ACC₂ имеем:

Связывая отрезки BB₂ и CC₂ с деформациями стержней и

;

и учитывая, что AB = a₁, AC = a₁+a₂, получим окончательно уравнение совместности деформаций в виде:

.(1.2)

1.5. Теперь надо связать деформации стержней с внутренними усилиями. Считая, что материал подчиняется закону Гука (расчет по упругой стадии деформации), запишем физические уравнения:

; . (1.3)

Таким образом, решая систему из уравнений (1.1), (1.2), (1.3)можно раскрыть статическую неопределимость системы, т.е. найти внутренние усилия в стержнях N₁ и N₂.

Дальнейшее решение ведется исходя из условия задачи:

- либо требуется подобрать сечения стержней, если известна внешняя нагрузка и даны допускаемые напряжения материалов стержней;

- либо необходимо определить грузоподъемность системы, если даны площади поперечных сечений стержней.

Подстановкой уравнений (1.3) в уравнение (1.2) получим:

;

.(1.4)

Так как в данном примере:

МПа кН/см²; МПа кН/см²;

;

м см; м см; м см;

м см;

; ;

см; см;

то N₁= 0,732 N₂.

Из уравнения (1.1)имеем:

;

кН; кН.

1.6. Подбор размеров поперечных сечений стержней осуществляем из условия прочности , которое дает наименьшие значения площадей сечений:

см²; см².

Учитывая, что в расчетах было заложено соотношение , окончательно принимаем F₁=14,6 см², F₂=9,72 см².

Следует обратить внимание на то, что первый стержень оказывается недогруженным, так как по условию прочности для него достаточна площадь 8 см².

1.7. Определение грузоподъемности системы. В данном случае необходимым условием является известная площадь сечений стержней. Дано F₁=5 см², F₂=4 см². Тогда, решая уравнение (1.1), получим

;