Основи математичної логіки
Логічні уявлення - опис досліджуваної системи, процесу, явища у вигляді сукупності складних висловлювань, складених з простих (елементарних) висловлювань та логічних зв'язок між ними. Логічні уявлення та їх складові характеризуються певними властивостями і набором допустимих перетворень над ними (операцій, правил виводу і т.п.), що реалізують розроблені у формальній (математичній) логіці правильні методи міркувань - закони логіки.
  |
Способи (правила) формального представлення висловлювань, побудови нових висловлювань з наявних за допомогою логічно правильних перетворень, а також способи (методи) встановлення істинності чи хибності висловлень вивчаються в математичній логіці. Сучасна математична логіка включає два основні розділи: логіку висловлювань і охоплює її логіку предикатів (рис. 1.1), для побудови яких існують два підходи (мови), створюючих два варіанти формальної логіки: алгебру логіки і логічні обчислення. Між основними поняттями цих мов формальної логіки має місце взаємно однозначна відповідність. Їх ізоморфізм забезпечується в остаточному підсумку єдністю законів логіки, що лежать в основі допустимих перетворень.
Рис. 1.1 – Математична логіка
Основними об'єктами традиційних розділів логіки є висловлювання.
Під висловленням розумітимемо речення, про зміст якого можна сказати: істинний він чи хибний, і притому лише одне з двох. Звичайно, це не означення. Поняття висловлення є в логіці висловлень вихідним, неозначуваним. Всі наукові знання (закони та явища фізики, хімії, біології та ін, математичні теореми і т.п.), події повсякденного життя , ситуації, що виникають в економіці і процесах управління, формулюються у вигляді висловлювань. Наказові і питальні речення не є висловлюваннями.
Саме ця властивість — бути істинним чи хибним — є характеристичною для висловлення як предмета вивчення логіки.Поняття істинності і хибності в логіці висловлень не аналізуються, а беруться як дані. Наприклад, “7 — просте число” є висловлення істинне, “ТНЕУ — не вищий навчальний заклад” — висловлення хибне.
Розглянемо вираз “х більше від одиниці”. Цей вираз не е висловленням, бо немає змісту твердити про його істинність чи хибність доти, поки символ “x” не буде замінено назвою певного дійсного числа.
Визначення 1 Вираз, який не є висловленням, але стає ним після заміни всіх символів змінних, що входять до цього виразу, назвами відповідних предметів, називають висловлювальною формою або невизначеним висловленням.
Розглядаючи висловлення, виходять з двох основних припущень:
а) кожне висловлення є або істинним, або хибним, тобто третього не дано(закон виключеного третього);
б) жодне висловлення не є одночасно істинним і хибним(закон виключення суперечності).
Позначимо значення “істинне” та “хибне” відповідно через “1” та “0”. Звичайно, “1” і “0” тут не є назвами чисел, а лише символами значень введеної функції істинності. Значення “1” і “0” називають значеннями істинностічиістинісними значеннями.
Висловлювальні змінні позначають так само, як числові змінні в математиці: р, q, r, p1, p2, p3,… Замість цих символів можна підставляти довільні висловлення. Звичайно, символи р, q, r, p1, p2, p3,… не є висловленнями, вони є змінними для висловлень (їх також називають змінними висловленнями або пропозиційними буквамичипропозиційними змінними).
Значення функції істинності для даного значення аргументу р позначатимемо | р|. Так, позначивши через p висловлення “2 — найменше просте число”, а через q — висловлення: “Число p дорівнює 3,14”, матимемо: |p|= 1, |q|=0.