Еліптичні рівняння

До еліптичних відносять рівняння виду:

рівняння Пуассона (11.8)

рівняння Лапласа (11.9)

Розглянемо класичну задачу Діріхле

у деякій області R і на границі цієї області, якою є крива G. Звичайно, рівняння (11.9) являє собою рівняння Лапласа, окремий випадок рівняння Пуассона.

Припустимо що область R має вигляд прямокутника ширини А і висоти В (рис. 11.3, 11.4.б).

Рисунок 11.3 – Побудова сітки в прямокутній області

Рисунок 11.4 – Графічне представлення переходу до кінцево-різницевих формул

Розділимо спочатку ширину прямокутника А на n інтервалів, кожен розміром ; а висоту В – на m частин розмірами . Усередині області виходять при цьому перерізів сітки. Визначимо різницеве співвідношення для кожної внутрішньої точки і розв‘яжемо отриману систему рівнянь.

Таблиця 7.1 – Відношення між похідними та значеннями функції у вузлах сітки

Похідна Схема Наближена формула Порядок похибки
    h2 h h
e2 e e
  h2 h4 h4
e2 e4 e4

Нумерація точок перетинання сітки починається в горизонтальному напрямку зліво-направо, від нуля, крайня права точка буде при цьому n-й. Аналогічно у вертикальному напрямку нумеруємо точки знизу-вверх від нуля до m. Вузол з індексами (i, j) буде i-м ліворуч і j-м знизу.

Нехай початок координат збігається з точкою, координати якої (0,0) позначимо

,

аналогічно записується

.

Використовуючи таку систему позначень граничну умову (11.10) можна записати у вигляді:

(11.11)

Якщо позначити , то диференціальне рівняння (11.9) зведеться до різницевого рівняння вигляду

(11.12)

для i=1, 2, 3, …, n-1 та j=1, 2, 3, …, m-1...

При , тобто при однакових величинах інтервалів розбивки в горизонтальному і вертикальному напрямках, це співвідношення означає, що значення є середнім арифметичним з чотирьох сусідніх з ним:

(11.13)

Важливо те, що одержана система – це система лінійних алгебраїчних рівнянь. Усього є рівнянь щодо невідомих. Після того як 2(m+n) невідомих будуть виключені за допомогою граничної умови (11.11), залишається точно рівнянь щодо невідомих. Вираз (11.7) являє собою систему лінійних алгебраїчних (n-1)(m-1) рівнянь відносно (n+1)(m+1) невідомих. Після того, як 2(n+m) невідомі будуть виключені за допомогою граничних умов, залишається (n-1)(m-1) рівняння відносно (n-1)(m-1) невідомих.

У (11.11) і (11.12) кожна пара значень(і, j) визначає вузол, в якому рівняння (11.6) розв'язується відносно . Рівняння (11.12) можна легко запам'ятати, якщо знати різницеву схему п'яти вузлів (рис. 11.2, 11.4.д,е).

Розпишемо докладно деякі з рівнянь (11.12). Для зручності прийнявши , тобто , але спільність висновків не важко перевірити при кожному . Починаючи з і при незмінному пройдемо значення :

(11.14)

Тепер збільшуючи до 2, пройдемо значення при :

(11.15)

В такий же спосіб, збільшуючи щоразу і проходячи значення . Кінцеве значення буде дорівнювати .

Система (11.14), (11.15) має дві важливі властивості, що допомагають вибрати для неї метод розв’язку. Властивості ці наступні:

1. Переважаюча частина коефіцієнтів системи дорівнює нулю.

2. У кожному рівнянні один з коефіцієнтів дорівнює + 4. Якщо в рівнянні є п'ять коефіцієнтів, відмінних від нуля, то сума інших чотирьох коефіцієнтів дорівнює – 4, якщо ж кількість ненульових коефіцієнтів менше п'яти, то сума інших дорівнює – 2 чи – 3.

Таким чином, у цій системі виконані умови збіжності ітераційного методу Гаусса - Зейделя (на основі її другої властивості). Перша ж властивість системи робить рішення методом виключення дуже незручним: вихідна система з великою кількістю рівних нулю коефіцієнтів перетвориться після виключення невідомих у повну трикутну систему.

Розглянемо деякі рівняння в тому вигляді, у якому з ними будуть проводитися ітерації. Позначаючи верхніми індексами порядковий номер ітерації і припускаючи, для усіх , одержимо наступний порядок розв’язання системи рівнянь:

(11.16)

Для цієї системи рівнянь виконується умова зближення ітераційного методу Гауса - Зейделя. Щоб розв'язати цю систему, розроблено алгоритм (рис. 11.5), який використовує метод Гауса–Зейделя, який застосовують до еліптичних рівнянь різницевих, називають методом Лібмана (або методом послідовних зсувів).

Рисунок 11.5 – Схема алгоритму розв’язання еліптичного рівняння на ЕОМ

При порівнянні реальних систем ДР буває корисно збільшити чи зменшити чергове виправлення при розрахунку чергового наближення до кореня рівняння (аналогічний метод може виявитися корисним при розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь). У дійсності це справедливо і для методу Лібмана. Щоб можна було збільшувати чи зменшувати чергові виправлення, замінимо в алгоритмі (рис. 11.5) визначення за формулою:

де х – значення ui,j, обчислене з рівняння (11.12). Параметр ? називається прискорюючим множником. У загальному випадку вимагається, щоб значення ? лежало в межах від 1 до 2. Якщо ? = 1, то є звичайний метод Лібмана, при ? > 1 є прискорений метод Лібмана..

Метод Лібмана було розглянуто тільки для випадку рівняння Лапласа. Взагалі кажучи, будь-яке еліптичне рівняння без членів, що містять иху, зводиться до системи різницевих рівнянь, що задовільняє умовам збіжності.

Усе сказане дотепер відносилося до лінійних рівнянь. Питання про збіжність для нелінійних рівнянь розроблено дуже слабо. Потрібно відзначити, однак, що багаторазово робилися успішні спроби вирішення квазілінійних (квазілінійними називаються рівняння, лінійні по ихх, uyy і uxy,але нелінійні по ux, иу, і, х, у) рівнянь за допомогою екстрапольованого методу Лібмана. Загальний підхід у цьому випадку зводиться до того, що задається навмання деяке значення і спостерігається швидкість збіжності інтераційного процесу. Потім, змінюючи ? і спостерігаючи викликані цим зміни швидкості збіжності, можна підібрати таке її значення, при якому ітераційний процес сходиться швидше всього. Вдавалося одержати збіжність навіть для рівнянь із членом типу иху, хоча в цьому випадку немає ніяких теоретичних основ очікування збіжності.

Є багато інших способів вирішення різницевих рівнянь (11.12). Найбільш часто використовуються лінійна релаксація, блокова релаксація і метод напрямків, що чергуються. Часто вони виявляються більш ефективними, ніж метод Лібмана. Нарешті, можна використовувати екстраполяційний перехід до границі.