Різницеві методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних
Класичне визначення похідної функції однієї змінної записується у вигляді
.
Природно, в ЕОМ не можна зробити граничного переходу. З іншого боку, можна додати деяке мале, хоча і ненульове, значення h і спробувати перевірити, що наближення виходить досить точним (проблема точності) і що помилка не зростає в ході процесу обчислень (проблема стійкості), тобто цей метод зводиться до того, що похідну заміняємо різницею.
Оскільки тепер є дві незалежні змінні, то обидві вони повинні брати участь у різницевому рівнянні. Розглянемо спочатку різниці в напрямку х.
Розклад функції 
в ряд Тейлора в околі точки ( 
, 
) можна записати у вигляді:
де 
лежить між х і х0. Якщо тепер представити 
, то після деяких перетворень одержуємо
Класичне визначення похідної функції однієї змінної можна записати:
.
Очевидно, на ЕОМ неможливо провести граничний перехід. А тому із розкладу функції в ряд Тейлора в околі точки 
можна наближено записати
(11.3)
з помилкою обмежування 
; 
.
Вираз (11.3) називають правою різницею, а вираз
(11.4)
лівою різницею.
Користуючись (11.3) та (11.4), можна отримати різницевий вираз для 2-ї похідної
(11.5)
і відповідно
, (11.6)
де h, k – величина кроку відповідно за координатами хта у.
Помилка обмеження дорівнює
.
Аналогічно (11.5) і (11.6), можна вивести вираз для 
. Використовуючи ці вирази, загальновідоме рівняння Лапласа 
, наприклад, можна записати в кінцевих різницях у вигляді:
(11.7)