Одноточкові методи розв'язання задачі Коші на ЕОМ

Розв'язати диференційне рівняння чисельним методом - це значить для заданої послідовності аргументів і знайти такі значення що ) і Таким чином, чисельні методи дозволяють замість отримання функції одержати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. Величина називається кроком інтегрування.

Графічно чисельний розв‘язок уявляє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується аналітичний розв’язок рівняння (кусочно-лінійна апроксимація).

Розглянемо алгоритми найбільш відомих чисельних методів.

Метод Ейлера є порівняно грубим і застосовується в основному для орієнтованих розрахунків. Однак ідеї, покладені в основу методу Ейлера, є базовими для інших методів.

Нехай дано диференційне рівняння першого порядку

(9.3)

з початковими умовами (9.4)

Потрібно знайти розв’язок рівняння на відрізку .

Розіб'ємо відрізок на n рівних частин і одержимо послідовність де , а - крок інтегрування.

Виберемо к-й відрізок і проінтегруємо рівняння (9.3):

або

(9.5)

Якщо в останньому інтегралі підінтегральну функцію на відрізку прийняти постійною і рівною початковому значенню в точці x = xk, то одержимо

Тоді формула (6.5) прийме вигляд

(9.6)

Позначивши , тобто , отримаємо

(6.7)

Продовжуючи цей процес, і щораз приймають, що на відрізку інтегральна крива приблизно заміняється прямолінійним відрізком, що виходить із точки кутовим коефіцієнтом . Тому в якості наближення шуканої інтегральної кривої одержуємо ламану лінію з вершинами в точках (рис. 9.4).

Рисунок 9.4 – Геометричне розв’язання методом Ейлера

Якщо функція у деякій прямокутній області

задовольняє умові

(9.8)

і, крім того,

(9.9)

то має місце наступна оцінка похибки:

, (9.10)

де в y(хn) - значення точного розв’язку рівняння (9.3) при x = xn, а yn - наближене значення, отримане на n-м кроці.

Формула (9.10) має в основному теоретичне застосування. На практиці, як правило, застосовують "подвійний прорахунок". Спочатку чисельне розв‘язання рівняння ведеться з кроком h, потім крок дроблять і повторний розрахунок ведеться з кроком h/2. Похибка більш точного значення оцінюється формулою

(9.11)

Метод Ейлера може бути застосований до розв'язку систем диференційних рівнянь вищих порядків. Однак в останньому випадку диференційні рівняння повинні бути приведені до системи диференційних рівнянь першого порядку.

Нехай задана система двох рівнянь першого порядку

(9.12)

з початковими умовами

. (9.13)

Наближені значення y(xi)y1 та z(xi)zi знаходяться по формулах

(9.14)

(9.15)

Схема алгоритму метода Ейлера представлена на рисунку 9.5.

Рисунок 9.5 – Схема алгоритму метода Ейлера

Схема алгоритму метода Ейлера для розв‘язання системи звичайних диференційних рівнянь наведена на рисунку 9.6.

Рисунок 9.6 – Схема алгоритму розв‘язання системи ЗДР методом Ейлера