Класифікація численних методів розв'язання задачі Коші

На протязі багатьох років чисельний розв‘язок задачі Коші був об‘єктом пильної уваги науковців оскільки він широко застосовується в різних галузях науки і техніки. Тому і кількість розроблених для нього методів дуже велика.

Чисельні методи розв'язання задачі Коші розділяються на 3 групи:

 одноточкові;

 багатоточкові (методи прогнозу та корекції);

 методи з автоматичним вибором кроку інтегрування.

На рис. 9.3 представлена класифікація найбільш відомих чисельних методів розв‘язання диференційних рівнянь (ДР) на ЕОМ.

Рисунок 9.3– Класифікація чисельних методів розв'язання задачі Коші.

До одноточкових методів відносять методи, які мають певні загальні риси, такі як:

1. В основі усіх одноточкових методів лежить розклад функції в ряд Тейлора, в якому зберігаються члени, що мають h в степені до k включно. Ціле число k називається порядком метода. Похибка на кроці має порядок k+1.

2. Всі одноточкові методи не потребують дійсного обчислення похідних, тому що обчислюється лише сама функція, однак можуть потребуватися її значення в деяких проміжних точках. Це тягне за собою, звичайно, додаткові затрати часу і зусиль.

3. Для отримання інформації у новій точці, потрібно мати дані лише в попередній точці. Цю властивість можна назвати „самостартуваням”. Властивість „самостартуваня” дозволяє легко змінювати величину кроку h.

4. В порівнянні з одноточковими методами методи прогнозу і корекції мають ряд особливостей:

1. Для реалізації методів прогнозу і корекції необхідно мати інформацію про декілька попередніх точок (вони не відносяться до „самостартуючих” методів), тому для отримання додаткової інформації доводиться застосовувати одноточковий метод. Якщо в процесі розв’язку диференційних рівнянь методом прогнозу і корекції змінюється крок, то звичайно тимчасово доводиться переходити до одноточкового методу.

2. Одноточкові методи і методи прогнозу і корекції забезпечують приблизно однакову точність результатів. Однак другі на відміну від перших дозволяють лише оцінити похибку на кроці. З цієї причини, користуючись одноточковими методами, величину кроку h звичайно обирають трохи менше, ніж це необхідно, тому методи прогнозу і корекції виявляються найбільш ефективними.

3. Використовуючи метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності, на кожному кроці доводиться обчислювати чотири значення функції, але для збіжності методу прогнозу і корекції того ж порядку точності часто достатньо двох значень функції. Тому методи прогнозу і корекції вимагають майже вдвічі менше машинного часу, ніж методи Рунге-Кутта порівнюваної точності.