Апроксимація ортогональними поліномами

Розглянемо спочатку поняття ортогональності та ортогональних функцій або системи функцій.

Функції і називаються ортогональними на заданій множині точок , якщо сума попарних добутків цих функцій дорівнює 0.

(6.16)

Система функцій називається ортогональною на заданій множині точок , якщо сума попарних добутків цих функцій дорівнює нулю, виключаючи добуток функції саму на себе.

(6.17)

Величина = називається нормою системи функцій .

Якщо для заданої системи функцій на заданій множині точок норма дорівнює одиниці, то така система функцій називається ортонормованою.

Якщо система функцій на заданій множині точок ортогональна і норма системи функції більше 0, то така система функції називається лінійно незалежною.

Висновок. В порівнянні з апроксимацією табличних функцій степеневими функціями - ортогональні поліноми спрощують задачу апроксимації, зменшують кількість обчислювальних операцій і дозволяють визначити коефіцієнти апроксимуючої функції без розв’язування СЛАР методом Гауса.

Рекурентні формули для обчислення найбільш поширених в обчислювальних методах ортогональних поліномів представлені в таблиці 6.1.

Таблиця 6.1 – Рекурентні формули для обчислення ортогональних поліномів

Поліном	Формула
Чебишева
Ерміта
Лежандра
Ляггера

6.1.4 Апроксимація тригонометричними поліномами (гармонійний аналіз)

В випадку коли за допомогою попереднього аналізу результатів інженерного або наукового експерименту функція, яка досліджується, має періодичний характер (рис. 6.4), то для апроксимації таких функцій звичайно використовують ортогональні поліноми Фур’є, які мають вигляд:

(6.21)

Рисунок 6.4 – Приклади експериментальних періодичних функцій

Розклад функцій в ряд Фур'є. Теорема Діріхлє

Багато задач науки і техніки зв'язані з періодичними функціями, які відображають циклічні процеси.

Функція f(x) називається періодичною з періодом T>0, якщо вона задовольняє рівності

(6.22)

З практичних міркувань такі функції зручно подати в вигляді тригонометричного поліному або його часткової суми з заданої обчислювальною похибкою . Поліном виду:

(6.23)

називається тригонометричним, причому a_n і b_n - дійсні числа, які не залежать від x.

Нехай цей ряд збігається для будь-якого x з інтервалу , тоді він визначає періодичну функцію f(x) з періодом .

Рядом Фур'є називається ряд, коефіцієнти якого обчислюються за наступними формулами:

, (6.24)

та якщо функція f(x) неперервна на відрізку [-p,p].

Розглянемо особливості використання ряду Фур'є для інженерних задач. При цьому виникають наступні питання:

1) Чи збігається ряд Фур'є функції f(x) ?

2) Якщо ряд збігається, то чи буде він мати своєю сумою f(x)?

Відповіді на поставлені питання дає теорема Діріхлє. Перше ніж сформулювати саму теорему, нагадаємо деякі поняття. Функція f(x) називається монотонною на інтервалі, якщо для будь-яких x₁ і x₂, які належать цьому інтервалу і таких, що x₁ < x₂, виконується лише одна з нерівностей f(x₁)Јf(x₂) або f(x₁)іf(x₂). Функція f(x) називається кусково-монотонною на інтервалі, якщо його можна розбити на кінцеве число відкритих інтервалів, в кожному з яких функція монотонна.

(6.25)

(6.26)

Функція f(x) називається кусково-неперервною на інтервалі, якщо вона має на ньому кінцеве число точок розриву.

Позначимо через f(а + 0) границю функції f(x) коли х прямує до справа (права границя), відповідно, через f(а - 0) - ліва границя.

Теорема Діріхлє. Якщо функція f(x), яка задана в інтервалі [-p, p], кусково-монотонна і кусково-неперервна, то ряд Фур'є цієї функції збігається на всьому інтервалі [-p, p] і сума його дорівнює:

1. f(x) в усіх точках неперервності, які належать [-p, p];

2. [ f(x - 0) +f(x + 0)] в усіх точках розриву, які належать інтервалу [-p, p];

Тобто

Теорема Діріхлє не стверджує рівномірної збіжності ряду Фур'є до функції f(x). Однак якщо посилити властивості, яким повинна задовольняти функція, тобто вимагати від неї неперервності на всьому інтервалі [-p, p], кускової монотонності на ньому і виконання рівності f(- ) = f ( ), то ряд Фур'є для такої функції буде рівномірно збігатися до функції f(x) на всьому інтервалі [-p, p].

Можна показати, що для парної функції всі коефіцієнти b_n дорівнюють нулю, а відповідний ряд Фур'є не містить синусів:

, (6.27)

де . (6.28)

Аналогічно для непарної функції всі коефіцієнти а_n дорівнюють нулю і відповідний ряд Фур'є не містить косинусів:

, (6.29)

Де . (6.30)

Чисельний гармонічний аналіз

Теоретичні та практичні засоби використання ряду Фур'є заміст функції f(x) в задачах моделювання і обробки результатів інженерних та наукових експериментів називається гармонічним аналізом. При практичних розрахунках необхідно обмежитися тільки декількома першими членами ряду Фур'є. В результаті можна отримати лише наближений аналітичний вираз для функції f(x) в вигляді тригонометричного багаточлену N-го порядку

(6.31)

Крім того, формули (6.23), (6.24), (6.25) для обчислення коефіцієнтів Фур'є придатні лише в випадку аналітичного завдання функції. На практиці, як правило, функція f(x) задається в вигляді таблиць або графіків (рис. 6.4), тому виникає задача наближеного відшукування коефіцієнтів Фур'є. Узагальнюючи вищесказане, сформулюємо наступну задачу чисельного гармонічного аналізу: апроксимувати на інтервалі (0,Т) тригонометричним багаточленом m-го порядку функцію y= f(x), для якої відомі m її значень

при xk = (к=0,1,2,..., m-1).

Тригонометричний багаточлен для функції, яка визначена на інтервалі (0,T), має вигляд

, (0 x T) (6.32)

(6.33)

(6.34)

Використовуючи в співвідношеннях (6.31) і (6.32) формулу прямокутників для обчислення інтегралів за значеннями підінтегральних виразів в точках (k = 0,1,2,...,m -1), маємо

(n=0,1,2,...,N) (6.35)

(6.36)

Таким чином, тригонометричний багаточлен (6.31), коефіцієнти a_n і b_n, якого знаходяться за формулами (6.34) і (6.35), може бути використаний для розв’язання даної задачі.