Апроксимація узагальненими поліномами

Постановка задачі

Припустимо, що в результаті інженерного або наукового експерименту отримана система точок: . Необхідно знайти аналітичну функцію виду:

, (6.9)

таку що середне квадратичне відхилення цієї функції від заданої системи точок буде мінімальним:

, (6.10)

Розв’язання цієї задачі зводиться до знаходження коефіцієнтів аналітичної функції . Визначимо відхилення аналітичної функції від експериментальних даних в кожної i-ої точці :

(6.11)

З виразу (6.10) видно, що залежит від коефіцієнтів , тобто є функцією багатьох параметрів. З відомо, що умовою оптимуму багатопараметричної функції є умова виду:

(6.12)

підставимо в (6.12) заміст вираз(6.11) для всіх і визначимо частинні похідні в виразу (6.12) по кожному коефіцієнту . В результаті отримуємо систему рівнянь виду:

(6.13)

Після спрощення та рокриття дужек в кожному рівнянні система (6.13) буде мати вигляд:

(6.14)

В матричній формі система (6.14) має вигляд:

(6.15)

Вибір системи функцій здійснюється з врахуванням наявності в експериментальних даних деяких тенденций, наприклад, періодичність експериментальних даних, або експоненціальний або логарифмічний характер їх зміни, властивості симетрії або наявність асимптотики.