Інтерполяційний багаточлен Лагранжа
Найбільш загальною формулою параболічного інтерполювання є інтерполяційна формула Лагранжа. Задача параболічного інтерполювання в цьому випадку формулюється наступним чином: на відрізку у вузлах інтерполяції задається функція своїми значеннями
,
необхідно побудувати багаточлен так, щоб у вузлах інтерполяції його значення співпадали зі значеннями заданої функції, тобто …, Слід відзначити, що в такій постановці задачі вузли інтерполяції можуть бути довільно розташовані один від одного на відрізку , іншими словами, вузли інтерполяції не рівновіддалені, тобто . Величина називається кроком інтерполяції.
Задача інтерполювання має розв‘язок, якщо степінь m багаточлена яким замінюється функція , не вище порядку ( ). Тоді задача інтерполювання зводиться до пошуку невідомих постійних коефіцієнтів багаточлена з системи рівнянь, яка будується наступним чином. З початкових умов відомо, що функція в вузлах приймає значення Тоді в вузлі інтерполяційний
багаточлен має вигляд в вузлі інтерполяції - і так далі. Нарешті, в вузлі інтерполяційний багаточлен буде виглядати
.
Запишемо це у вигляді системи рівнянь з невідомими
, (5.3)
де і табличні значення аргументу і функції, що досліджується. Невідомі коефіцієнти знаходяться по формулам Крамера:
, (5.4)
де - визначник системи (5.3).
Якщо (тобто коли різні), то система (5.3) має єдиний розв’язок. Якщо знайти коефіцієнти , можна уявити інтерполяційний багаточлен у вигляді
Перепишемо багаточлен в іншій формі:
(5.5)
Легко перевірити, що функція повинна задовольняти умовам
(5.6)
В точках функція обертається в 0, а в точці дорівнює 1.
Остаточно отримаємо вираз (5.7)
(5.7)
Цей багаточлен називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа. В спрощеному вигляді його можна записати так:
(5.8)
Даний метод легко алгоритмізується і може використовуватися для розробки програм інтерполяції. Схема алгоритму метода представлена на рисунку 5.3.
Рисунок 5.3 – Схема алгоритму метода Лагранжа
Приклад: Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для функції заданої таблично.
n | ||||
x | ||||
y |
n=4; m=n-1=4-1=3. Припустимо, що y=a0+a1x+a2x2+a3x3.
Слід пам’ятати, що при екстраполяції функції, чим далі значення х від інтервалу спостереження, тим отримане значення функції містить більшу похибку.
Таким чином: , , , .
Висновки:
1. Таким чином за допомогою багаточлена Лагранжа були отримані коефіцієнти інтерполяційної функції : .
2. Використовуючи отриманий багаточлен можливо знайти будь-яке значення функції для заданого . Наприклад, для
3. Використовуючи інтерполяційний багаточлен можливо отримати значення функції за межами спостережень. У даному прикладі інтервал спостереження . Така задача називається екстраполяція(прогнозування функції).
Для оцінки похибки інтерполяційного багаточлена Лагранжа використовують формулу:
,
причому , при