Решение.

Пример.

Решение.

Пример.

Решение.

Пример.

Из Перми до Чайковского можно добраться теплоходом, поездом, автобусом или самолетом; из Чайковского до Ижевска — теплоходом или автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Пермь—Чайковский—Ижевск?

Число разных путей из Перми до Ижевска равно 4•2=8, так как, выбрав любой из четырех возможных способов путешествия из Перми до Чайковского, имеем 2 возможных способа путешествия из Чайковского до Ижевска.

Свойства аддитивности и мультипликативности иемют и множественную трактовку.

Из пункта А в пункт В в течение суток отправляются 16 поездов, 8 самолетов из автобуса. Сколькими способами можно в течение суток переехать из пункта А в пункт В.

Очевидно, что из пункта А в пункт В можно проехать различными 16-ю поездами, или 8-ю самолетами, или 3-мя автобусами. То есть всего существует 16+8+3=27 способов перемещения из пункта А в пункт В.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если:

а)ни одна цифра не повторяется больше одного раза в записи числа;

б)цифры в записи числа могут повторяться;

в)цифры могут повторяться в записи числа, но число должно быть нечетным.

а) Первой цифрой при этом может быть любая из 5 цифр 1,2,3,4,5 (0 не может быть первой цифрой, потому что в таком случае число не четырехзначное). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья — 4 способами, четвертая — 3 способами. Согласно правилу произведения общее число способов равно 5•5•4•3=300.

б) Для первой цифры имеем 5 возможностей (1,2,3,4,5), для каждой из следующих цифр — 6 возможностей (0,1,2,3,4,5). Следовательно, общее количество чисел равно 5•6•6•6=1080.

в) Первой цифрой может быть одна из 5 цифр 1,2,3,4,5, а последней 1,3,5. Следовательно, общее количество чисел равно 5•6•6•3=540.

6.3. Размещения.

Теорема. Число размещений из n элементов по k вычисляется следующим образом:

(6.2)

Доказательство.

Произвольный кортеж имеет вид:

Элемент можно выбрать n способами. После каждого выбора элемент можно выбрать (n-1) способами. После каждого выбора элементов и элемент можно выбрать (n-2) способами, и т.д. После каждого выбора элементов , , …, элемент можно выбрать (n-(k-1)) = (n-k+1) способами. Тогда, по свойству мультипликативности, последовательность можно выбрать числом способов, равным:

(6.3)

Если произведение в левой части равенства умножить и разделить на (n-k)!, то выражение (6.3) будет иметь вид:

(6.4)