Аппроксимация тригонометрическими полиномами кусочно-гладких функций

Функция называется кусочно-гладкой на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, в каждом из которых – гладкая функция, т.е.непрерывна вместе со своей первой производной.

Теорема

Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой функции

на отрезке

сходится к значению

в точке

( сходиться к

в точках непрерывности функции). В обеих граничных точках сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений в этих точках, т.е.

Пример

Найти ряд Фурье для функции

Представить графически приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней

,

. Оценить погрешность среднеквадратического приближения

.

Решение

Определяем коэффициенты Фурье (по формуле (4))

Сделаем замену переменных :

. Тогда

и формулы (3), (4) примут вид:

(3')
(4')

Т.е. (3), (4) и (3'), (4') эквивалентны! Считать удобнее по формулам (3'), (4').

Определяем коэффициенты Фурье (у нас - функция определена на интервале ):

Т.о. ряд Фурье имеет вид

Многочлен наилучшего приближения получаем из последней формулы:

Погрешность приближения находим по формуле:

( следует из )

т.к. ,

то