Разложение функций в степенные ряды

Если степенной ряд сходится на интервале, то каждому значению х из этого интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. То есть сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая ее через можно записать равенство

(10.11)

понимая его так, что при каждом сумма, стоящая справа в ряде (10.11) равна значению функции при том же х. Говорят, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Равенство (10.11), справедливое на интервале сходимости, называют разложением функции в степенной ряд.

Теорема 1. Степенной ряд (10.11) можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале его сходимости, причем получающиеся новые ряды имеют тот же интервал сходимости.

Теорема 2. Степенной ряд (10.110 можно любое число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до x, если , причем получающиеся новые ряды имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

Эти две теоремы позволяют расширить область степенных рядов и применять их в вычислениях.

Если функция у = имеет ограниченные производные любого порядка, то ее можно разложить в степенной ряд, называемый рядом Тейлора (Б. Тейлор, 1685-1731, английский математик):

(10.12)

Если в ряде (10.12) положить а = 0, то получим ряд, носящий название ряд Маклорена (К. Маклорен, 1698-1746, шотландский математик):

Пример 10.11. Разложить в ряд Маклорена функции: а) .

Решение. Эта функция не изменяется при дифференцировании, то есть . Поэтому при х=0 имеем . Подставляя найденные значения функции и производных в ряд (10.13) получим разложение