Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан интеграл , где функция - непрерывна на отрезке . Введем новую переменную в виде , где .

Если при этом выполняются условия:

1)

2) и - непрерывные на отрезке

3) - определена и непрерывна на отрезке то

(8.5)

Справедливость равенства (8.5) проверяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Замечание. При интегрировании методом замены переменной нет надобности возвращаться к прежней переменной.

Пример 8.3. Вычислить

Введем замену переменной (подстановку)

Из основной подстановки найдем новые пределы интегрирования, полагая в выражении ,

Получим при , при .

Согласно формуле (8.5) запишем:

Пример 8.4. Вычислить

Приведем замену переменной тогда

найдем новые пределы интегрирования:

при , при из уравнений

Имеем