Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан интеграл , где функция - непрерывна на отрезке . Введем новую переменную в виде , где .
Если при этом выполняются условия:
1)
2) и - непрерывные на отрезке
3) - определена и непрерывна на отрезке то
(8.5)
Справедливость равенства (8.5) проверяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Замечание. При интегрировании методом замены переменной нет надобности возвращаться к прежней переменной.
Пример 8.3. Вычислить
Введем замену переменной (подстановку)
Из основной подстановки найдем новые пределы интегрирования, полагая в выражении ,
Получим при , при .
Согласно формуле (8.5) запишем:
Пример 8.4. Вычислить
Приведем замену переменной тогда
найдем новые пределы интегрирования:
при , при из уравнений
Имеем