Изотропность пространства.

Уравнения движения замкнутой системы не изменяются при вращении системы как целого относительно любой оси. Другими словами, уравнения движения инвариантны относительно вращения вокруг любой оси. В этом случае реализуется закон сохранения момента импульса:

- момент импульса материальной точки a.

, т.е реализуется векторный закон сохранения момента импульса системы.

Для незамкнутой системы существуют поля, допускающие вращение системы как целого относительно некоторых осей.

Пример:

Если выбрать z вдоль , то систему можно вращать как целое вокруг z, в данном поле будет сохраняться проекция момента импульса на направление поля.

Рассмотрим теперь центральное поле. Например, гравитационное поле Земли (сферически симметричное).

Центр Земли – это центр поля тяготения. Вращение вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, не меняет уравнения движения.

§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.

Дана замкнутая система двух материальных точек (тел). Для замкнутой системы функция Лагранжа явно не зависит от времени, значит, потенциальная энергия является функцией только координат. Потенциальная энергия – энергия взаимодействия между телами.

,

Данная система обладает следующими свойствами:

1. Пространство однородно и изотропно. Это значит, что систему можно транслировать.

Вследствие однородности пространства:

.

Мы можем вращать вектор как хотим, решение от этого не измениться (следствие изотропности). Введём новые координаты:

- описывает положение центра масс (система как целое).

- описывает относительное положение точек.

где .

Таким образом .

,

,

Имеем:

,

- приведённая масса.

- общая масса.

В итоге:

Была функция Лагранжа, а стала . И в первом и во втором случае имеем 6 степеней свободы, т.е. мы ничего не потеряли.

Здесь - циклическая координата. Тогда

, тогда:

- интеграл движения

- закон сохранения импульса

;

Итак, задача двух тел свелась к решению двух задач:

1.Свободная материальная точка массой .

2.Материальная точка массы во внешнем центральном стационарном поле(относительное движение). зависит от модуля , значит поле центральное или сферически-симметричное.