U-критерий Манна-Уитни

Непараметрический U-критерий Манна-Уитни позволяет оценить достоверность различий в независимых выборках, если данные в них представлены в ранговой шкале. Данный критерий следует применять и в том случае, если данные представлены в метрических шкалах, но не укладываются в кривую нормального распределения. При этом следует обратить на ограничения в использовании критерия: в каждой выборке должно быть не менее 3 и не более 60 наблюдений.

Обе выборки объединяются, осуществляется ранжирование по принципу «меньшему значению – меньший ранг», затем объединенная выборка снова расщепляется, но с сохранением значений рангов присвоенных при объединенном ранжировании.

В качестве примера предлагается проанализировать первые 20 значений из Таблицы I Приложения с целью выяснить: существуют ли для мальчиков и девочек достоверные различия между результатами субтестов на осведомленность.

Формулируются статистические гипотезы.

Н0: разница между показателями субтеста осведомленности у мальчиков и девочек значимо не отличается от нуля.

Н1: разница между показателями субтеста осведомленности у мальчиков и девочек значимо отличается от нуля.

Исходная таблица   Ранжирование объединенной выборки
пол осведомленность   пол осведомленность Ранг
ж   ж
ж   ж
м   м 3,5
ж   м 3,5
ж   ж 5,5
ж   ж 5,5
м   м 7,5
ж   м 7,5
ж   ж
ж   ж
ж   м
м   ж 12,5
ж   м 12,5
ж   ж
м   ж
ж   ж
м   ж
ж   м
м   ж
м   ж

 

Повторное расщепление с сохранением рангов и подсчет ранговых сумм

 

Осв М Ранг М Осв Ж Ранг Ж
12,5
7,5
7,5
3,5
3,5 12,5
   
   
    5,5
    5,5
   
   
  Sм = 60,5   Sж = 149,5

 

Значение U определяется по формуле:

где n1 – объем первой выборки;

n2 – объем второй выборки;

Тх – большая из ранговых сумм;

nx – объем группы с большей суммой рангов.

В нашем случае Uэмп = (13*7) + - 149,5 = 32,5

Согласно таблицам критических значений, при n1=13 и n2=7, Uкр (для p ≤ 0,05) = 20 и Uкр (для р ≤ 0,01) = 13.

Критерий Манна-Уитни отличается от большинства других критериев тем, что для опровержения нулевой гипотезы эмпирическое значение должно быть меньше или равно критическому (подобная закономерность типична также для Т-критерия Вилкоксона и критерия знаков G). То есть, используется следующий принцип: Uэмп ≤ Uкр Þ Н1!

В нашем случае Uэмп = 32,5. То есть, Uэмп ≥ Uкр (p ≤ 0,05) Þ Н0! Таким образом, достоверность различий между показателями осведомленности у мальчиков и у девочек не установлена.

Задания для самостоятельной работы.

1. Определить достоверность различий между показателями среднего балла интеллекта у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать t-критерий Стьюдента.

2. Определить достоверность различий между показателями успеваемости у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать t-критерий Стьюдента.

3. Определить достоверность различий между показателями субтеста «арифметика» у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать U-критерий Манна-Уитни.

4. Определить достоверность различий между показателями субтеста «понятливость» у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать U-критерий Манна-Уитни.