Алгебраические операции над нечеткими множествами.
Алгебраическим произведением 
нечетких множеств 
и 
называется нечеткое множество, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
(7.19)
Алгебраической суммой
нечетких множеств и называется нечеткое множество, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
(7.20)
Для операций 
выполняются свойства:
1. Коммутативный закон
(7.21)
2. Ассоциативный закон
(7.22)
3. Закон де Моргана
(7.23)
4. Операции с пустым множеством:
, (7.24)
5. Операции с универсумом:
(7.25)
Не выполняются следующие свойства:
1. Дистрибутивный закон
(7.26)
2. Закон идемпотентности
(7.27)
3. Закон исключенного третьего
(7.28)
На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень 
нечеткого множества , где - положительное число. Нечеткое множество 
определяется функцией принадлежности:
(7.29)
Частным случаем возведения в степень являются операции концентрирования 
и растяжения
, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями. Наглядное представление этих операций представлено на рис 7.9.
Рис. 7. 9.
Умножением на число , где - положительное число такое, что 
, называется нечеткое множество 
с функцией принадлежности:
(7.30)
Пусть даны нечеткие множества универсального множества 
и неотрицательные числа 
, сумма которых равна 1. Выпуклой комбинацией нечетких множеств 
называется нечеткое множество с функцией принадлежности :
(7.31)
Декартовым произведением нечетких множеств 
, каждое из которых является подмножеством соответствующего универсального множества 
, называется нечеткое множество, являющееся подмножеством универсального множества 
, с функцией принадлежности:
(7.32)
Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.
Пусть - нечеткое множество, - универсальное множество и для всех 
определены нечеткие множества 
. Совокупность всех называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:
, (7.33)
где 
- произведение числа на нечеткое множество.