Алгоритм Магу для определения множества внутренней устойчивости графа

Пусть дан граф . Для данного графа существует множество внутренней устойчивости .

Введем булевую переменную , которая определяется следующим образом:

, если вершина принадлежит множеству внутренней устойчивости ;

, если вершина не принадлежит множеству внутренней устойчивости ;

Введем булевую переменную :

, если между i-той и j-той вершиной есть дуга;

, если между i-той и j-той вершиной нет дуги.

Тогда определение внутренней устойчивости (3.4) может быть представлено в следующем виде:

(3.5)

Или используя булевую алгебру:

(3.6)

Применяя формулы равносильности, преобразуем:

(3.7)

Рассмотрим выражение:

(3.8)

Если , то данное равенство является тавтологией.

Если , то равенство имеет вид:

(3.9)

Данное уравнение лежит в основе алгоритма Магу

Алгоритм Магу состоит из следующих этапов:

1. Для графа составляется матрица смежности.

2. По таблице смежности выписываются все парные дизъюнкции.

3. Выражение приводится к ДНФ.

4. Для любой элементарной конъюнкции выписываются недостающие элементы, которые и образуют множество внутренней устойчивости.

ПРИМЕР

Дан граф

Рис. 3.7 Граф

Матрица смежности имеет вид:

Для всех единиц выписываются парные дизъюнкции:

(3.10)

Приведем выражение к ДНФ:

(3.11)

Множества внутренней устойчивости:

Числом внутренней устойчивости = 2.