Лекция 1 Вычисление определенных интегралов численными методами

ОСНОВНОЙ ТЕКСТ

Понятия для повторения

Новые понятия

МОДУЛЬ № 4

«Численные методы»

 

В результате изучения модуля студент должен:

§ знать сущность математической формализации численных методов решения задач;

§ уметь решать прикладные задачи с использованием численных методов на алгоритмическом языке Turbo-Pascal;

§ приобрести навыки системного подхода к освоению нового учебного материала.

 

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ МОДУЛЯ

СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ

Новое понятие Определение
Итерационные (численные) методы Методы последовательного приближения к корню уравнения с заданной точностью E
Итерация Каждое повторное вычисление корня
Нелинейные уравнения Уравнение вида f (x) = 0, левая часть которого представляет собой многочлен от x в степени больше единицы или содержит тригонометрические, логарифмические и другие элементарные функции
Понятие для повторения Определение
Массив данных Совокупность однотипных данных, имеющих общее имя и разные порядковые номера
Индекс (порядковый номер) Указывает место (положение) элемента в массиве
Сложные циклы Циклы, в теле которых имеются разветвления и другие встроенные в них циклы

 


 

План лекции:

1. Вычисление определенных интегралов методом левых, правых и средних прямоугольников.

2. Вычисление определенных интегралов методом трапеций.

 

Определенный интеграл от непрерывной функции f(х) ³ 0 в пределах от а до b представляет площадь криволинейной трапеции S, ограниченной кривой f(x), осью абсцисс и прямыми х = а, х = b (рисунок 1). Из курса высшей математики известно, что

где F(x) – первообразная для f(х) на отрезке [а, b], т. е. F¢(x) = f (х)на отрезке [a, b]. Если f(х) < 0 на отрезке [a, b], то в формуле S < 0, но çSçравно площади криволинейной трапеции, находящейся под осью абсцисс.

 

S
Рисунок 1 – Определенный интеграл – площадь криволинейной трапеции

 

Однако на практике приведенной формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам: 1) вид функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях; 2) значения функции f(x) заданы только на фиксированном конечном множестве точек xi, т. е. функция задана в виде таблицы. В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например многочленами нулевой (у = с), первой (у = сх + d) или второй (у = сx2 + dх + k) степени, а численные методы вычисления определенного интеграла, основанные на подобной аппроксимации, называются соответственно методами прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

Пусть требуется приближенно вычислить значение интеграла .В методе прямоугольников криволинейная трапеция разбивается на п частей, каждая из которых представляет собой прямоугольник, основание которого равно шагу интегрирования , а длины сторон соответственно Y0 = f(x0), Y1 = f(x1), Yn = f(xn), где x0 = a, x1, …, xn-1, xn = b – точки деления отрезка [a, b] на n равных частей.

Различают методы правых, левых и средних прямоугольников, в зависимости от месторасположения начальной точки x0 при вычислении площади элементарного прямоугольника. Если за высоту каждого прямоугольника принимается левая ордината (y0, y1, y2…), то вычисление интеграла будет производиться по методу левых прямоугольников; если правая ордината (y1, y2, y3…), то по методу правых прямоугольников; если за высоту принимается середина интервала длиной h, то будет применяться метод средних прямоугольников. Основанием всех прямоугольников будет являться величина шага интегрирования h.

Тогда при методе левых прямоугольников:

,

при методе правых:

,

при методе средних:

.

Таким образом, первоначальное значение при методе левых прямоугольников , правых – , средних – . Последующие значения будут получаться через операцию присваивание = + h, а элементарные площади S1, S2…Sn будут вычисляться по формуле . Сумма этих площадей дает значение интеграла. Изложенное выше реализует алгоритм (рисунок 2), где - значения элементарных площадей, а их сумма S – значение интеграла.

 

 

Рисунок 2 – Схема алгоритма вычисления интеграла методом прямоугольников

 

Более точное значение интеграла получается при вычислении его методом трапеций, когда ординаты (y0, y1, y2… yn) подынтегральной функции соединяют отрезками прямых и искомую площадь заменяют суммой площадей трапеций, высотой которых является шаг h, а основаниями и для S1, и для S2 (рисунок 3).

Тогда

где , а y0, y1, y2 … yn равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента .

Поскольку , , и т. д., то схема алгоритма примет вид, приведенный на рисунке 3. В приведенном алгоритме блок 5 вычисляет значение элементарных площадей S1, S2,…Sn, в блоке 6 осуществляется их суммирование и блоком 7 изменяется на величину шага h.

 

Рисунок 3 – Схема алгоритма вычисления интеграла методом трапеций