Краткие теоретические сведения
1. Определение обратной функции:
Если функция задает биективное отображение , то функция , называется обратной функцией к функции .
Функции , и , называются взаимно обратными.
2. Графики взаимно обратных функций:
Если у обратной функции переобозначить аргумент на x, а функцию на y, то графики двух взаимно обратных функций
, и ,
на плоскости xOy будут иметь осевую симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатного угла (относительно прямой y=x).
Аудиторные задания
Задача 1
Для данной функции найдите обратную функцию ,постройте графики обеих функций в одной системе координат, запишите ООФ и ОЗФ каждой из взаимно обратных функций:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Ответы:
1) если то ; | |
2) если то ; | |
3) если то ; | |
4) если то ; |
Задания для домашнего выполнения
Подготовиться к контрольной работе по «0» варианту.
Занятие 11. Контрольная работа №1
Цель занятия:
написать контрольную работу №1 ( итоговый контроль по теме 1).
Контрольная работа №1 по теме "Введение в математический анализ",
вариант 0
Задача 1
Даны непрерывные множества и .
Требуется:
1) записать А и В промежутками и построить на одной координатной прямой;
2) охарактеризовать ограниченность А и В, указать их точные грани и экстремумы;
3) записать промежутками множества , , , .
Задача 2
Построить множества точек на координатной плоскости xOy:
1) , ;
2) , , ,
Задача 3
1) Найти ООФ и ОЗФ функции: ;
2) Найти ООФ , если .
Задача 4
Дана функция Требуется:
1) охарактеризовать четность ;
2) найти множества , , .
Задача 5
Для данной функции требуется:
1) найти обратную функцию ;
2) построить графики обеих функций в одной системе координат;
3) записать ООФ и ОЗФ каждой из функций и .
Задача 6
Дана функция и множество . Требуется:
1) построить график функции на ее естественной ООФ;
2) записать по графику основные характеристики функции:
ООФ, ОЗФ, нули функции, четность, периодичность, монотонность, локальные экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на ООФ;
3) найти множество ; изобразить отображение геометрически и указать, является ли оно биекцией.
Ответы к задачам варианта 0 контрольной работы №1
Задача 1
|
|
|
2) А – неограничено, т.к. является ограниченным сверху, но неограниченным снизу;
, ; , – не существует;
В –ограничено, т.к. является ограниченным и сверху и снизу;
, ; – не существует, – не существует;
3) ; ;
; .
Задача 2
1) | ||||||
2) |
|
| ||||
|
|
Задача 3
1) ООФ : , ОЗФ : ;
2) ООФ .
Задача 4
1) Данная функция свойством четности не обладает (т.е. не является ни четной, ни нечетной);
2) , , .
Задача 5
1) Если , то ;
2) графики и являются симметричными относительно прямой :
3) ООФ: , ОЗФ: ;
ООФ: , ОЗФ: .
Задача 6
1) |
|
2) ООФ: , ОЗФ: ;
нули функции: , ;
функция четная;
функция периодическая с наименьшим периодом ;
при , ,
при , ;
локальные экстремумы:
при , , при , ;
, .
3) Если , то ;
отображение не является биекцией.
|
|
|