Краткие теоретические сведения

Краткие теоретические сведения

1.Полярная система координат и полярные координаты точки:

полярная система координат на плоскости включает в себя точку O, называемую полюсом, и направленный луч Op, называемый полярной осью; на полярной оси вводится масштабная единица.

Положение точки M фиксируется её полярными координатами:

полярным радиусом r - расстоянием от полюса O до точки M и полярным углом j - углом между полярной осью Op и отрезком OM .

Границы изменения полярных координат точки M(j, r):

Для полюса O , угол j не определяется, т.е. может иметь любое значение.

Аудиторные задания

Задача 1

Постройте множества точек плоскости в полярной системе координат:

.

Ответы:

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Постройте множества точек плоскости в полярной системе координат:

Ответы к заданиям для домашнего выполнения

x, ρ

y

Занятия 6,7. Задания функций. ООФ и ОЗФ

Цель занятия:

1) научиться описывать числовую функцию по её текстовому заданию;

2) рассмотреть основные задачи на определение ООФ и ОЗФ для явно заданных функций;

3) рассмотреть трактовку функции как отображение множеств.
1.Определение числовой функции:

Переменная величина y называется числовой функцией переменной величины x, если каждому возможному числовому значению величины x ставится в соответствие по какому-нибудь правилу или закону единственное числовое значение величины y.

Обозначение: , или , или ;

переменная х - это независимая переменная, или аргумент;

переменная y - это зависимая переменная или функция.

2. Способы задания функции:

1) аналитический способ – функция задается математической формулой, связывающей аргумент и функцию; при этом различаются:

- явное задание ,

- неявное задание ,

- параметрическое задание ;

2) табличный способ – соответствующие друг другу значения аргумента и функции записываются в виде таблицы;

3) графический способ – задается множество точек координатной плоскости, координаты которых являются соответствующими друг другу значениями аргумента и функции;

4) описательный способ.

3. Область определения и область значений функции:

Областью определения функции (ООФ) называется множество X числовых значений, которые может принимать аргумент x, так чтобы функция имела смысл.

Естественная ООФ совпадает с областью допустимых значений (ОДУ) для x в выражении f(x).

Областью значений функции(ОЗФ) называется множество Y числовых значений, которые принимает функция y, если её аргумент .

4. Функция как отображение множеств:

Любую функцию , для которой и , можно трактовать как отображение множества X на множество Y , при котором каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент ; эта трактовка подчеркивается следующим обозначением:

.

5.Определение биективного отображения:

Отображение функцией называется биективным, или взаимно однозначнымили просто биекцией, если любому соответствует единственный и любой является соответствующим единственному .

Аудиторные задания

Задача 1

Составьте таблицу значений функции по её описанию, укажите ООФ и ОЗФ:

1) значение функции u=f(n) равно количеству простых чисел, не превосходящих n, , ;

2) значение функции y=f(x) обратно значению факториала её аргумента x, .

Ответ:

1)

n

u

ООФ: ; ОЗФ: ;

2)

x

y

ООФ: ; ОЗФ: .

Задача 2

Составьте аналитическое выражение функции по её описанию, запишите ООФ:

1) Из трех материальных отрезков, длины которых равны 1, 2, 1 единицам длины (в сантиметрах), а массы соответственно равны 2, 3, 1 единицам массы (в граммах), составлен брус. Масса m переменного отрезка АМ длины x есть функция от x. Составьте аналитическое выражение m = f(x) .

2) В шар радиуса R вписывается цилиндр. Найти функциональную зависимость объема V цилиндра от его высоты x.

3)Равномерно движущаяся по прямой точка через 12 секунд после начала движения находилась на расстоянии +32.7 см от некоторой точки этой прямой; через 20 секунд после начала движения расстояние стало равным +43.4 см. Выразить расстояние s как функцию времени t.

Ответы: 1) ; 2) , ;

3) .

Задача 3

Найдите естественную область определения Х и соответствующее множество значений Y для каждой из следующих функций; укажите для каждой функции, является ли отображение биективным:

1) 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Ответы: 1) , является биективным;

2) , является биективным;

3) , является биективным;

4) , не является биективным;

5) , является биективным;

6) , не явл. биективным.

Задача 4

Найдите ООФ заданных функций:

1) ; 2) .

Ответы: 1) ; 2) .

Задача 5

Запишите в явном виде функции y(x) , заданные неявно уравнением F(x,y)=0; найдите ООФ и ОЗФ:

1) ; 2) ; 3) .

Ответы: 1) ;

2) ;

3) .

Задача 6

Функции заданы параметрическим способом. Для каждой из этих функций требуется записать ООФ и ОЗФ, исключить параметр t и получить явное или неявное задание функции, построить график в декартовой системе координат xOy:

1) (полукубическая парабола); 3) (астроида);

2) (эллипс); 4) (отрезок прямой линии).

Ответы: 1) ООФ: ОЗФ: ; явное задание ; график полукубической параболы:

y

2)

ООФ: ОЗФ: ; неявное задание ; явное задание (две функции); график эллипса:

3)

ООФ: ОЗФ: ; неявное задание ; явное задание (две функции); график астроиды:

4)

ООФ: ОЗФ: ; неявное задание ; явное задание ; график отрезка прямой:

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Составьте таблицу значений функции по её описанию, укажите ООФ и ОЗФ:

1) значение функции целочисленного аргумента равно количеству целых делителей аргумента, отличных от 1 и самого n, ;

2) значения функции целочисленного аргумента равны членам последовательности , в которой величина каждого члена обратна квадрату его номера.

Задача 2

Составьте аналитическое выражение функции по её описанию, запишите ООФ:

1) Башня имеет следующую форму: на прямой круглый усеченный конус с радиусами оснований 2R (нижнего) и R (верхнего) и высотой R поставлен цилиндр радиуса R и высоты 2R; на цилиндре – полусфера радиуса R. Выразите площадь S поперечного сечения башни как функцию расстояния x сечения от нижнего основания конуса. Постройте график функции S=f(x).

2) В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найдите функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей x.

3) Напряжение в некоторой цепи падает равномерно (по линейному закону). В начале опыта напряжение было равно12 вольт, а по окончании опыта, длившегося 8секунд, напряжение упало до 6.4 вольт. Выразите напряжение U как функцию времени t .

Задача 3

Найдите естественную область определения Х и соответствующее множество значений Y каждой из следующих функций; укажите для каждой функции, является ли отображение биективным:

1) 4)