Краткие теоретические сведения
1. Определения ограниченных множеств:
ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества:
1)множество 
называют ограниченным сверху, если $ число 
, такое что для 
выполняется неравенство 
; число b называется в этом случае числом, ограничивающим сверху множество X;
2)множество 
называют ограниченным снизу, если $ число 
, такое что для выполняется неравенство 
; число a называется в этом случае числом, ограничивающим снизу множество X;
3)множество, ограниченное сверху и снизу, называется
ограниченным.
2. Определение неограниченных множеств:
1) неограниченное сверху множество – это множество X, не являющееся ограниченным сверху, то есть 
;
2) неограниченное снизу множество – это множество X, не являющееся ограниченным снизу, то есть 
.
3) неограниченное множество - это множество, не являющееся ограниченным, т. е. неограниченное множество является неограниченным сверху или неограниченным снизу, или неограниченным и сверху и снизу.
3. Определения точной верхней грани и точной нижней грани множества: точной верхней грани множества; точной нижней грани множества
1) если множество ограничено сверху, то наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, называют точной верхней гранью множества (или просто верхней гранью) и обозначают: sup X ;
2) если множество ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу это множество, называют точной нижней гранью множества (или просто нижней гранью) и обозначают: inf X.
4. Определения экстремумов множества:
1) если точная верхняя грань множества X принадлежит этому множеству, то она называется максимумом множества и обозначается maxX;
2) если точная нижняя грань множества X принадлежит этому множеству, то она называется минимумом множества и обозначается minX;
3) максимум и минимум некоторого множества называются экстремумами этого множества.
Задача 1
Охарактеризуйте ограниченность следующих множеств, укажите их точные грани и экстремумы:
1) 
; 
;
; 
;
; 
;
2) 
; 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
Ответы:
1) A1- ограниченое, 
;
A2- ограниченое, 
, maxA2 и minA2 не существуют;
A3-ограниченое, 
, 
, 
;
A4-ограниченое, 
, 
, 
;
A5-ограниченое, 
, 
, 
;
A6-ограниченое, 
, 
, 
;
2) B1-неогр., но огр. снизу, 
, 
, 
, 
;
B2-неогр., но ограничено снизу 
, 
, 
;
3) C- ограниченное, 
, 
, 
;
4)D-неогр., т.к. не явл.огр. ни сверху ни снизу, 
, 
; 
и minD не сущ.;
5) X-неогр., но огр. сверху , 
, infX=-¥ , 
, minX не сущ. ;
6) Y-неогр., но огр. сверху, 
, 
, maxY=8, 
;
7) T-огр., 
, 
, 
, 
;
8) M-огр., 
, 
, minM не существует;
9) S-ограниченное, 
, 
, maxS и minS не существуют;
10) L- ограниченное, 
, 
, 
, 
.
Задания для домашнего выполнения
Задача1
1) 
; 
;
; 
; 
; 
;
2) 
; 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
Ответы к задачам для домашнего выполнения
Задача1
1) A1- ограниченное, 
, 
, 
, 
;
A2- ограниченное, 
, 
, minA2=-10, maxA2 не сущ.;
A3-ограниченое, , 
, 
, 
;
A4-ограниченое, 
, 
, 
, 
;
A5-неогр., т.к. не огр. ни сверху, ни снизу, 
, maxA5 и minA5 не сущ.;
A6-ограниченое, 
, 
, maxA6 и minA6 не существуют ;
2) B1-ограниченное, 
, 
, 
, minB1 не существует.
B2-неограниченное, но ограничено снизу, 
, maxB2 и minB2 не сущ. ;
3)C- ограниченное, 
, 
, 
, 
;
4) D-неогр., но ограничено сверху, 
, 
, maxD=-1, minD не сущ. ;
5) X-неогр., но огр. снизу, 
, 
, maxX не сущ., 
;
6) Y-неограниченное, но ограничено сверху, 
, , maxY=2, minY не сущ.;
7) P –огр., 
, 
, 
, 
;
8) T-ограниченное, 
, 
, 
, minT не существует;
9) M-неогр., но ограничено снизу, 
, 
, maxM и minM не сущ.;
10) F-ограниченное, 
, 
, 
, minF не сущ.
Занятие 5. Множества точек на координатной плоскости в полярной системе координат
Цель занятия:
1) познакомиться с полярной системой координат и построением линий в ней;
2) повторить тригонометрические вычисления, решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.