Семейство методов Адамса

Известны методы Адамса k-го порядка. Простейший из них при k = 1 повторяет метод Эйлера первого порядка в точности. Метод четвертого порядка на практике принято называть методом Адамса. Рабочую формулу для него получают следующим образом.

Пусть известные в четырех последовательных узлах (k = 4) значение сеточной функции y_i–3, y_i–2, y_i–1, y_i и вычисленные первоначально значения правой части (4) f_i–3, f_i–2, f_i–1, f_i. В качестве интерполяционного многочлена P₃(x) возьмем многочлен Ньютона. В случае h = const конечные разности для правой части в узле x_i будут иметь вид

Df_i = f_i – f_i–1;

D²f_i = f_i – 2 f_i–1 + f_i–2;

D³f_i = f_i – 3 f_i–1 + 3 f_i–2 – f_i–3.

Тогда разностная схема метода Адамса запишется в виде

. (26)

По сравнению с методом Рунге-Кутта той же точности можно отметить его экономичность, так как (26) предусматривает на каждом шаге только один раз вычисление правой части в соотношении (4). Однако расчет здесь можно начать только с узла x₄. Значения y₁, y₂, y₃ необходимые для вычисления y₄ нужно определять одношаговым методом, что несколько усложняет алгоритм вычисления. Кроме того, метод Адамса не позволяет изменять шаг h в процессе счета, что доступно для одношаговых методов.