Формула прямоугольников

Простейшие квадратурные формулы

Заметим, что при реализации квадратурных формул (7) в подавляющем большинстве случаев используется равномерная сетка произвольно выбранных по количеству интерполяционных узлов, что и определяет разные степени используемых интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней обычно интервал интегрирования разбивают на отдельные участки, применяют рабочие формулы невысокого порядка на каждом участке и потом складывают результаты расчета и оценочные погрешности.

Приведем квадратурные формулы для одного интервала [х_i, x_i+1], который впоследствии обобщим на весь интервал [a, b] в виде так называемых составных квадратурных формул.

Пусть рассматривается интервал [–h/2, h/2], где h > 0.

Предположим, что подынтегральная функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, т.е. f(x) Î C²[–h/2, h/2]. Тогда соотношение (7) запишется в виде:

, (10)

здесь взят один узел x = 0 и соответствующий вес q = h.

Полученная квадратурная формула

I = h×f(0) (11)

называется формулой прямоугольников для одного шага или формулой средних. Такое название определено, так как это есть площадь прямоугольника с высотой f(0) и основанием h. Из рисунка видно, что, уменьшая интервал h при гладкой функции f(x) (т.к. f(x) Î C²[–h/2, h/2]), погрешность R ® 0 при h ® 0. Доказано, что точность результата для (10) оценивается формулой

, где x Î [–h/2,h/2].

Заметим, что квадратурная формула (11) является точной для полиномов первой степени , так как .

Иногда на интервале [–h/2, h/2] применяют формулы вида I=h×f(–h/2) и I=h×f(h/2) – формулы правых и левых прямоугольников. Они точны только для полиномов нулевой степени, т.е. констант.