Сплайны

Пусть интервал [a,b] разбит узлами x_i, как и выше, на n отрезков, 0 £ i £ n Сплайном S_n(x) называется функция, определенная на [a, b], принадлежащая C^k[a, b] и такая, что на каждом отрезке [x_i, x_i+1], 0 £ i £ n–1 – это полином n-й степени.

В частности, это могут быть, построенные специальным образом, многочлены 3-й степени (кубический сплайн), которые являются математической моделью гибкого тонкого стержня, закрепленного в двух точках на концах с заданными углами наклона a и b.

В данной физической модели стержень принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Пусть форма стержня определяется какой-то функцией y = S(x). Из курса сопротивления материалов известно, что уравнение свободного равновесия имеет вид S^(IV)(x) = 0. А этому состоянию соответствует многочлен третьей степени между двумя соседними узлами интерполяции. Его выбирают в виде

S(x) = a_i + b_i(x – x_i–1) + c_i(x – x_i–1)² + d_i(x – x_i–1)³ ; x_i–1 £ х £ x_i . (31)

Стоит проблема нахождения a_i, b_i, c_i, d_i. Для определения их на всех n элементарных участках интервала [a,b] необходимо составить 4n уравнений. Часть этих уравнений в составе 2n получают из условия прохождения S(x) через заданные точки, т.е.

S(x_i–1) = y_i–1; S(x_i) = y_i .

Эти условия можно записать, используя (31) в виде:

(32)

(33)

Уравнения в количестве (2n–2) получают из условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции. Условие гладкости.

Вычислим производные многочлена (31)

(x) = b_i + 2c_i(x – x_i–1) + 3d_i(x – x_i–1)²,

(x) = 2c_i + 6d_i(x – x_i–1); при x_i–1 £ х £ x_i . (34)

Приравнивая в каждом внутреннем узле x = x_i значения этих производных, вычисленных на концах рассматриваемого отрезка, получают (2n–2) уравнений

b_i+1 = b_i + 2h_ic_i + 3hd_i ; i=1,2,…,n–1; (35)

c_i+1 = c_i + 3h_id_i ; i=1,2,…,n–1 . (36)

Оставшиеся 2 уравнения получают из естественного предположения условия о нулевой кривизне этой функции на концах отрезка.

(37)

Система, составленная из (32) – (37), решается одним из методов решения СЛАУ.

Для упрощения машинных расчетов эта система уравнений приводится к более удобному виду посредством следующего алгоритма.

1. Из условия (32) можно сразу найти a_i.

2. Из (36) – (37) находят:

(38)

3. После подстановки (38) и (32) в (33) находят коэффициенты b_i.

b_i = ;

b_n = . (39)

4. Учитывая (38) и (39) из уравнения (35) исключаются d_i и b_i, тогда исходная система приводится к трехдиагональной матрице, содержащей только коэффициенты c_i. Получаем систему

h_i–1c_i–1 + 2(h_i–1 + h_i)c_i + h_ic_i+1 = 3(), i=2,3,…,n. (40)

При этом c₁ = 0, c_n+1 = 0. Система (40) может быть решена методом прогонки. Зная c_i по (38) и (39), определяют b_i и d_i. Тогда кубический многочлен определяется для всех интервалов.

Пример составления системы (40). Пусть функция f(x) задана таблицей