Условный экстремум

А С В

Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума.

Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.

10.2. Безусловный экстремум

Рассмотрим задачу безусловного экстремума.

Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у.

Найдем частные производные.

Первая производная по х: z׳_х=2х+у-2

Первая производная по у: z׳_у=х+2у-3

Решим систему уравнений. 2х+у=2

х+2у=3

Получаем критическую точку (1/3; 4/3).

Найдем вторые частные производные.

Вторая производная по х: z׳׳_хх=2

Вторая производная по у: z׳׳_уу=2

Смешанные производные z׳׳_ху=z׳׳_ух=1

Составим определитель 2 1

1 2 ∆ = 4-1=3

Следовательно, экстремум есть. Так как z=2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.

Задача на минимум.

Определить матрицы L и все ее главные миноры порядка больше чем m+1 должны иметь знак (-1)^m, где m – число ограничений задачи.

Задача на максимум.

Определить матрицы L должен иметь знак (-1)ⁿ, где n – число переменных в задаче. Главный минор порядка m+n-1 должен иметь противоположный знак. Последующие миноры должны иметь чередующие знаки.

Пример: Z = f(x)=xy, х²+у²=2.

Критические точки: М1=(1, 1), М2=(-1, -1), =(1, -1), =(-1, 1).

0 -2x -2y

L= -2x -2λ 1 Δ=8 λ(x²+y²)+8xy Δ=-4x²

-2y 1 -2 λ

Таким образом, максимум в точках М1, М2 (λ=0,5), минимум – в точках М3, М4 λ=-0,5.

Контрольные вопросы:

1.В чем состоит задача нелинейного программирования?

2.Что называется условным экстремумом?

3.Что называется безусловным экстремумом?

4.Какая разница между локальным и глобальным экстремумом?

5.Какие методы решения задач НЛП?