Решение.
.
Придавая последовательно частные значения, равные корням , находим:
Таким образом,
.
Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т. е. придавать ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях .
Итак, сформулируем
Правило интегрирования рациональных дробей.Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:
1) если рассматриваемая рациональная дробь — неправильная (r), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
где <; — многочлен;
2) если рассматриваемая рациональная дробь — правильная (<), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (1);
3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.
Пример.Найти .
Решение. Подынтегральная дробь — неправильная, поэтому выделим сначала ее целую часть и проинтегрируем ее, а полученную правильную дробь разложим на простейшие дроби и также проинтегрируем:
Разложение правильной рациональной дроби рассматривалось в предыдущем примере, поэтому запишем результат:
,
Следовательно,
Пример. Найти .
Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь, разложим ее на простейшие дроби и проинтегрируем:
.
Для нахождения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, т. е. приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :
.
Следовательно,
,
.