Порождающая матрица сверточного кода

Из описания кодера или из формулы (1.1) непосредственно следует, что сверточный код является линейным. Это означает, что множество кодовых слов образует линейное пространство полубесконечных двоичных последовательностей. Удобной формой представления блоковых линейных кодов является описание с помощью порождающей матрицы кода, строками которой, как известно, служат базисные векторы кода.

Хотя размерность пространства кодовых слов сверточного кода бесконечна, его регулярная структура позволяет в явном виде указать базис пространства и выписать порождающую матрицу сверточного кода.

Рассмотрим сначала коды со скоростью 1/n. Заметим, что информационные последовательности вида

u₀=[100…];

u₁=[010…];

…

образуют в совокупности базис линейного пространства входных последовательностей кодера, поскольку любая информационная последовательность может быть представлена в виде линейной комбинации u_i , i=1,2,…. Каждой линейной комбинации информационных последовательностей u_i соответствует кодовая последовательность, равная линейной комбинации кодовых слов, соответствующих u_i . Отсюда следует, что кодовые слова, соответствующие этим информационным последовательностям, образуют базис в пространстве кодовых слов. Из (1.1) следует, что порождающая матрица сверточного кода может быть записана в виде

(2)

где через 0 обозначена нулевая матрица размерности 1 x n. В случае кодов со скоростью формула (2) для порождающей матрицы сверточного кода также верна, но размерность составляющих подматриц будет k x n.