Поверхнями
Теплообмін між двома паралельними абсолютно чорними
Вважаємо поверхні нескінченно протяжні так, що випромінювання одної поверхні попадає на другу поверхню. По закону Стефана-Больцмана перша поверхня має таку випромінювальну спроможність (рис.3.8)
Інша поверхня випромінює
Якщо 
, то енергія переходить від першої поверхні до другої. Результативне випромінювання першої поверхні склада
( 3.11 )
Рисунок 3.8. Дві паралельні абсолютно чорні поверхні
3.7 Теплообмін між двома сірими, паралельними поверхнями ( рис.3.8)
Рисунок 3.9. Дві паралельні сірі поверхні
Розглянемо послідовність процесів випромінювання, поглинання та відбиття першою та другою поверхнями.
Перша поверхня випромінює енергію Е1, друга Е2. Е1 попадає на другу поверхню і частково вбирається. Поглинене випромінювання становить А2Е1, відбите (1-А2)Е1. Цей залишок спрямовано на першу поверхню, також частково поглинається А1(1-А2)Е і частково відбивається (1-А1) (1-А2)Е1. Це відбите випромінювання знову спрямовується на другу поверхню, де частково поглинається А2(1-А1)(1-А2)Е1, а решта (1-А2)2( 1-А1)Е знову відправляється на першу поверхню.
Складемо таблицю, в якій зобразимо історію випромінювання Е1.
Таблиця 3.1 – Історія випромінювання Е1
| Поверхня 1 | Поверхня 2 | ||
| Вбирання | Відбиття | Вбирання | Відбиття |
| А2Е1 | (1-А2)Е1 | ||
| А1(1-А2)Е1 | (1-А1)(1-А2)Е1 | А2(1-А1)(1-А2)Е1 | (1-А2)2(1-А1)Е1 |
| А1(1-А1)2(1-А1)Е1 | (1-А1)2(1-А2)2Е1 | А2(1-А1)2(1-А2)2Е1 | (1-А2)2(1-А1)2Е1 |
Маємо геометричні прогресії, сума яких дорівнює
( 3.11 )
де а1 – перший член прогресії;
q –знаменник прогресії, тобто вираз, на який помножений кожний попередній член прогресії.
У нашому випадку маємо для вбирання першою поверхнею
Тобто у сумі вбирання поверхнею 1 від Е1
( 3.12 )
Для другої поверхні
а енергія , вібрана нею частиною першої поверхні
Тобто вся енергія випромінювання першої поверхні поглинається після багаторазових поглинань та відбиття частково першою, а частково другою поверхнями.
Аналогічно розглянемо історію вбирань та відбиттів другою поверхнею від E2.
Таблиця 3.2 – Історія випромінювання Е2
| Поверхня 1 | Поверхня 2 | ||
| Вбирання | Відбиття | Вбирання | Відбиття |
| А1Е2 | (1-А1)Е2 | А2(1-А1)Е2 | (1-А2) (1-А1)Е2 |
| А1 (1-А1)(1-А2)Е2 | (1-А1)(1-А2)Е2 | А2(1-А1)2(1-А2)Е2 | (1-А2)2(1-А1)Е2 |
| А1(1-А1)2(1-А2)Е2 | (1-А1)2(1-А2)2Е2 | А2(1-А1)3(1-А2)2Е2 | (1-А1)3(1-А2)3Е2 |
і т.д.
Частина енергії Е2, вібрана першою поверхнею
( 3.13 )
Частина енергії Е2, вібрана другою поверхнею
( 3.14 )
Вся енергія Е2 в решті решт після багаторазових вбирань та відбитків становить як сума виразів ( 3.13) та (3.14)
Таким чином перша поверхня випромінює згідно з законом Стефана-Больцмана Е1, Вт/м2. В той же час вона вбирає енергію 
( частину випромінювання Е1) та енергію 
( частину власного випромінювання Е2), тобто в сумі вбирає 
. Різниця між власним випромінюванням та вібраним становить дебаланс енергії:
Аналогічно
.
Таким чином
.
Знак мінус показує, що коли енергія для одної пластини приходить, то для іншої виходить.
Розділивши чисельник та знаменник правої частини виразу Е12 на А1А2 отримаємо:
Маючи на увазі закон Кірхгофа, бачимо
Тоді
, ( 3.16 )
де
- приведений коефіцієнт поглинання (приведена міра чорноти).