Задачи к главе 9 для самостоятельного решения
9.1. Определить натяжение нити, связывающей два шарика объемом V=10см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего? Плотность воды ρ=1000 кг/м3.
Fнат=ρg V / 8.
9.2. Два шарика радиусами r1 и r2 сделаны из материала плотностью ρ1 и ρ2 и соединены невесомым стержнем длиной l. Затем вся система помещена в жидкость плотностью ρ (ρ < ρ1 и ρ < ρ2). В какой точке стержня нужно прикрепить подвес, чтобы вся система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?
от шара плотностью r1.
9.3. В сообщающиеся сосуды диаметрами D1 и D2 налита вода. Как изменится уровень воды в сосудах, если положить кусок дерева массой m в первый сосуд? Во второй сосуд? Плотность воды r.
.
9.4. В сосуд с водой опущена длинная трубка сечением S = 2см2. В трубку налито m=72 г масла (ρм = 900 кг/м3 ).Плотность воды ρВ = 1000 кг/м3. Найти разность уровней масла и воды.
Δh = m (ρв - ρм ) / S ρв ρм .
9.5. При подъеме груза массой m = 2000 кг с помощью гидравлического пресса совершена работа А = 40 Дж. При этом малый поршень сделал n= 0 ходов, перемещаясь за один ход на h = 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого?
S2/S1 = nhmg /A.
9.6. Из воды с глубины h1=7 м кран поднимает чугунную плиту массой m=1400 кг. Найти совершенную работу, если плита была поднята на высоту h2=5 м над водой. Плотность чугуна 7000 кг/м3. Считать g =10 м/с2. Плотность воды ρв известна.
А = mg[ h1(1- ρч /ρв) + h2 ].
9.7. Полый шар (внешний радиус R1, внутренний R2), сделанный из материала плотностью r1, плавает на поверхности жидкости плотностью r2. Какова должна быть плотность r вещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?
r = [R13 (r2 - r1) + R23 r1] ( 1 / R23).
9.8. Один конец нити закреплен на дне, а второй прикреплен к пробковому поплавку. При этом 0,75 всего объема поплавка погружено в воду с плотностью ρв. Определить силу натяжения нити, если масса поплавка m= 2 кг и плотность пробки rп = 250 кг/м3 . Массой нити пренебречь.
T = mg (3ρв /4rп - 1).
9.9. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Определить силу сопротивления F жидкости при движении в ней шарика, считая ее постоянной. Масса шарика m=10 г.
F=3mg.
9.10. В цилиндрический сосуд налита ртуть и поверх ртути масло. Масса масла в 2 раза меньше массы ртути. Сосуд заполнен до высоты h=30 см. Определить давление на дно сосуда, если плотность ртути rр=1,36 ×104 кг/м3 , а плотность масла rм=900 кг/м3.
P=3rмrрgh/(rр+2rм).
9.11. С какой скоростью вытекает вода из узкого отверстия в дне бака, наполненного до высоты h=4,6 м? Вязкость не учитывать.
.
Пример 10.1.
На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость V0 спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время 0=0,5 года.
Dt-?
_____________________
V0=7,9 км/ч=7,9·103 м/с,
t0=0,5 года=15768000 с.
Решение.
Очевидно, что релятивистское замедление хода часов Dt=t-t0, где t – время в системе отсчета К’, движущейся вместе со спутником со скоростью V0 относительно "неподвижной" системы отсчета К, связанной с Землей. Так как (см. ) местное время t на спутнике равно
,
то:
.
Для нахождения времени запаздывания Dt можно воспользоваться следующим приближением:
.
Подставляя численные значения, имеем:
.
Пример 10.2.
Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью L=0,1 мкм. При какой относительной скорости U двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина L0 которого равна 1 м.
U-?
_______________
DL = 0,1 мкм=10–7 м,
L0 = 1 м.
Решение.
В соответствии с формулой (10.26) для Лоренцевского сокращения длины запишем:
,
где введено обозначение b=U/c.
Релятивистское сокращение длины можно было бы обнаружить при условии, что
,
или
. (*)
Разрешая соотношение (*) относительно b получим:
.
Проводя преобразования и опуская малую величину (DL)2 имеем для U выражение:
Подставляя численные значения, имеем:
U=13,4·104 м/с.
Пример 10.3.
Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость V1=0,4/с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью V2=0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость U21 частицы относительно ядра.
U21 – ?
__________
V1=0,4 с,
V2=0,75 с
с=3×108 м/с.
Решение
Релятивистское сложение скоростей осуществляется по закону (10.30):
. (*)
Из формулы (*) следует, что
.
В результате последовательных преобразовании имеем:
и
.
Подставив численные значения, получим
.