ГРАФІЧНИЙ МЕТОД розв’язування ЗДЛП

Постановка задачі

Необхідно знайти экстремум наступної функції (3.4), при обмеженнях виду:

(3.5)

і умовах невід’ємності, що накладають на змінні:

. (3.6)

Аналіз задачі (3.4)-(3.6)

1. Областю припустимих розв’язків задачі (3.4)–(3.6) служить або замкнуте опукле багатогранне тіло або розімкнуте опукле багатогранне тіло. Таке тіло визначається системою обмежень (3.5) і умовами невід’ємності (3.6), які накладаються на змінні х₁, х₂.

2. Функція (3.4) визначає в площині Х₁0Х₂ сімейство прямих, що проходять через початок координат. Таке сімейство прямих описується рівняннями виду:

.

3. Обертаючи пряму (3.4) відносно початку координат, можна знайти ту вершину ОПР, в якій функція (3.4) досягає свого оптимального значення (якщо таке значення існує). Крім того, при обертанні такої прямої можна переконатися в нерозв'язності задачі (3.4)-(3.6).

Алгоритм розв’язування задачі (3.4)-(3.6)

1. У площині Х₁0Х₂ будуємо область припустимих розв’язків задачі, що визначається співвідношеннями (3.5)–(3.6). Помітимо, що якщо така область замкнута, то задача (3.4)-(3.6) завжди має рішення.

2. У площині Х₁0Х₂ будуємо пряму лінію з рівнянням .

3. Обертаючи пряму відносно початку координат, визначаємо крайню точку ОПР або переконуємося в нерозв'язності такої задачі.

У розглянутій задачі

4. Далі визначаємо координати точки оптимуму й підставляємо їх у вираз для функції мети.

Розглянемо приклад.

Приклад.Для виробництва двох видів виробів А й В підприємство використовує три типи технологічного встаткування. Кожен виріб повинен пройти обробку на кожному типі встаткування. Час обробки виробу на кожнім устаткуванні наведено в таблиці. Крім того, в таблиці зазначені витрати, пов'язані з виробництвом одного виробу кожного виду

Підприємство може використати встаткування першого й третього типів не більше 26 й 39 годин відповідно. При цьому встаткування другого типу доцільно використовувати не менше 4 годин. Потрібно визначити, скільки виробів кожного виду варто виготовляти даному підприємству, щоб собівартість кожного виробу була мінімальною.

Сформулюємо задачу математично. Позначимо через х₁ і х₂ кількість виробів видів А и В відповідно, який повинне виготовляти дане підприємство при мінімальних загальних витратах .

Тоді функція, відповідальна за собівартість одного виробу, визначається співвідношенням:

. (3.7)

Задача розв’язується в рамках наступних обмежень

(3.8)

(3.9)

Висновок:

1) математична постановка задачі складається у визначенні такого невід’ємного розв’язку системи обмежень (3.8), що доставляє мінімум функції (3.7);

2) беручи до уваги, що математична модель (3.7)–(3.9) містить у собі лише дві змінні, задача може бути вирішена графічно в площині Х₁0Х₂.

В силу того, що область замкнута, вихідна ЗДЛП завжди буде мати розв’язок. Зобразимо в площині Х₁0Х₂ рівняння прямої .

Виразимо із цього рівняння х₂ :

.

Очевидно, що при збільшенні h кутовий коефіцієнт буде рости (отже, буде збільшуватися й відповідна похідна).

Стрілки на графіку вказують напрямок збільшення h, отже, максимум цільової функції буде досягнутий у точці А, а мінімум – у точці В.

Визначимо координати точки В із системи рівнянь:

. Одержимо .

Отже, оптимальним планом виробництва є план, при якому підприємство буде виготовляти три вироби виду А и один виріб виду В. При цьому собівартість одного виробу складе 2,25 грошових одиниць, тобто