Комбинаторика

Классическое определение вероятности событий

Определение 6.2. Вероятность события – количественная мера неопределенности, число, которое выражает степень уверенности в наступлении этого события.

Проведем следующее испытание. Бросим один игральный кубик. В результате такого испытания возможны такие события: «выпала единица», «двойка», «тройка», «четверка», «пятерка» и «шестерка». Эти события, очевидно, образуют полную группу. Изобразим их совокупность в виде отдельных точек (см. рис. 6.1). Введем следующие определения. Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием (элементарным исходом). Набор всех элементарных событий – множество элементарных исходов (пространство элементарных событий). Таким образом, любое событие можно рассматривать как подмножество пространства элементарных событий. Мы говорим, что событие произошло, если в результате испытания произошло элементарное событие, принадлежащее этому подмножеству. Например, нас интересует событие – выпало четное число. Этому событию соответствует набор (подмножество) трех элементарных событий – «двойка», «четверка» и «шестерка». Появление одного из этих элементарных событий будет означать, что произошло интересующее нас событие . Как в данном случае можно определить вероятность события? Очевидно, что чем выше удельный вес элементарных событий, соответствующих интересующему нас событию, тем больше шансов, что оно появится, т.е. тем выше вероятность. В нашем случае всего 6 элементарных исходов, из них 3 четных числа. Таким образом, вероятность будет равна .

Рис. 6.1.

Рассмотренный метод является классическим, и сформировался в XVII веке в результате анализа азартных игр, и основано на понятии равновозможности событий.

Определение 6.3. Вероятностью наступления события называется отношение числа всех благоприятствующему этому событию элементарных исходов к общему числу всевозможных простых, попарно несовместных, единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания :

(6.1)

Диапазон изменения вероятности случайного события: . Вероятность достоверного события: . Вероятность невозможного события: . Чем больше значение вероятности, тем более мы уверены в наступлении события.

Приведем несколько примеров на нахождение вероятности наступления событий с использованием классического определения вероятности.

Пример 6.7. В урне 4 красных и 8 зеленых яблока. Случайным образом вынули одно яблоко. Найти вероятность того, что это яблоко – зеленое.

Решение:

Пусть событие заключается в появлении зеленого яблока. В данной задаче число всевозможных исходов , число исходов, которые благоприятствуют наступлению события . Тогда, согласно классическому определению вероятности:

.

Пример 6.8. Одновременно бросили два игральных кубика. Какова вероятность того, что на обеих гранях выпадет в сумме 8 очков?

Решение:

Пусть событие заключается в том, что при одновременном бросании двух кубиков выпадет число 8. Число всех возможных исходов , поскольку каждому значению на одном кубике может соответствовать 6 значений на другом . Для благоприятных исходов составим следующую таблицу:

Получили всего благоприятных исходов .

Вычисляем вероятность:

.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. они в ряде случаев позволяют подсчитать количество всевозможных и количество благоприятных исходов.

Правило умножения в комбинаторике. Если первое действие можно осуществить различными способами, а второе – , то оба действия можно осуществить различными способами.

Это правило обобщается и на большее число действий. Например, если первое действие можно осуществить различными способами, второе – , а третье , то все три действия можно осуществить различными способами.

Определение 6.4. Факториалом целого положительного числа (обозначается ) называется произведение первых чисел натурального ряда, т.е.:

(6.2)

Пусть имеется некоторое множество из элементов . Из этого множества можно образовать разные выборки, каждая из которых содержит элементов .

Упорядоченные выборки называются размещениями.

Определение 6.5. Если комбинации из элементов по отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называются размещениями из элементов по . Число размещений из элементов по равно:

(6.3)

или:

(6.4)

Пример 6.9. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

Решение:

Это есть число размещений:

Определение 6.6. Если комбинации из элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из элементов. Число перестановок из элементов:

(6.5)

Пример 6.10. Сколькими способами можно разместить 5 человек за столом, на котором поставлено 5 приборов?

Решение:

Это есть количество перестановок:

Определение 6.7. Если комбинации из элементов по отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из элементов по . Число сочетаний изэлементов по :

(6.6)

Пример 6.11. В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Сколько матчей должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя командами должен быть сыгран только один матч?

Решение:

Каждый матч играется между двумя командами из 6 и отличаются только составом пар команд, т.е. представляют сочетание из 6 элементов по 2. Таким образом, находим:

Пример 6.12. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность, что выбраны два мальчика? Выбор считать случайным.

Решение:

Событие состоит в том, что в члены делегации выбрали двоих мальчиков. Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, т.е.:

Число исходов, благоприятствующих наступления события равно:

Число всех возможных исходов :

Определение 6.8. Если выбирать элементов из , возвращая каждый выбранный элемент обратно, то такая выборка называется размещением из по с повторениями.

При этом и могут находиться в любом соотношении:

и

Общее количество выборок с возвращением равно:

(6.7)

Пример 6.13. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2 ,3, 4, 5?

Решение:

Воспользуемся формулой (6.7). В данной задаче = 5, = 3.

.