ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ЛЕКЦИЯ №5

План

1. Непрерывность функции

2. Понятие производной

3. Таблица основных формул дифференцирования

4. Правила дифференцирования

5. Дифференциал

6. Производные высших порядков

7. Возрастание и убывание функции

1. Непрерывность функции

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая переменная приближается к точке , то значение функции неограниченно приближается к значению функции в точке (рис. 5.1).

Дадим строгое определение непрерывности функции.

Определение 5.1. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ; 2) существует предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.

Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке справа и слева. Пусть функция определена в точке . Если , то говорят, что функция непрерывна в точке справа. Если , то функция непрерывна в точке слева.

Введем теперь понятие точки разрыва.

Определение 5.2. Точка называется точкой разрыва функции , если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при функция разрывная. Это может произойти, если в точке функция не определена, или не существует предел функции при , или, наконец, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке : .

Точки разрыва бывают двух типов.

Определение 5.3. Точка разрыва функции называется точкой разрыва I рода, если существуют оба односторонних предела и .

Определение 5.4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из двух пределов или стремится к бесконечности.

Пример 5.1. Рассмотрим функцию:

(5.1)

Даная функция имеет в точке разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы при и справа и слева:

(5.2)

(5.3)

Пример 5.2. Рассмотрим следующую функцию:

(5.4)

Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы при ни слева, ни справа:

(5.5)

(5.6)

На рис. 5.2 представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах 5.1 и 5.2 .