Соответствия между римскими числами и числами, записанные в десятичной системе счисления

Основной недостаток такой системы счисления – неудобно их складывать. Другие непозиционной системы счисления – аттическая система счисления (применялась в древней Греции до III века до н.э.), греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая (система счисления, в которой, в качестве символов для счёта, употребляют греческие буквы, а также дополнительные символы, такие как ς (стигма), Ϙ (копа) и Ϡ (сампи)).

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные.

Определение 1.4. Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице.

Пример 1.5. , .

Определение 1.5. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым.

Пример 1.6. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т.д.

Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы исследования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики. Широко используется, к примеру, криптография, позволяющая, обмениваться зашифрованными сообщениями с помощью общедоступной сети Интернет, основываясь на свойствах простых чисел.

При умножении или сложении двух натуральных чисел получится обязательно натуральное число. Однако при вычитании натуральных чисел может получиться отрицательное число.

Пример 1.7. 2 – 4 = -2

Определение 1.4. Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности целыми числами.

Множество всех натуральных чисел обозначается символом , множество всех целых чисел – символом .

Однако в случае операции деления возникает потребность расширения целых чисел. Например, пять милиционеров нельзя разделить на три равные части – такого количества милиционеров 5/3 не существует. Аналогичный смысл имеет обозначение , где и – любые натуральные или даже целые числа (b ¹ 0). Числа вида называются обыкновенными дробями или рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначается символом . Множество рациональных чисел замкнуто относительно операция сложения, умножения, вычитания и деления.

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т.е. 10, 10² = 100, 10³ = 1000 и т.д., называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной дроби приводит иногда к бесконечной десятичной дроби. Например:

Как видно, получающаяся бесконечная последовательность цифр содержит так называемый период – один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому полученные десятичные дроби называют бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример 1.8. Превратим в обыкновенные дроби числа = 0,777... и = 0,999...

Умножив на 10, получаем:

1) 10= 7,777... = 7 + , откуда 9= 7 и = .

2) 10= 9,999...10= 9 + , откуда 9= 9 и = 1.

Заметим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = 0,24000..., 3,5 = 3,5000... и т.п.

Определение 1.5. Числа, которые можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, называются рациональными.

Число не является рациональным, т. е. представляющая его бесконечная десятичная дробь не будет периодической.

Определение 1.6. Числа называются иррациональным, если их можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .

Определение 1.7. Число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения й степени с целыми коэффициентами:

Число не является рациональным, но оно алгебраическое, поскольку удовлетворяет уравнению .

Определение 1.8. Числа, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.

Число .

Лейбниц доказал, что:

Другое очень известное в математике число – так называемое число е – также может быть представлено в виде ряда:

Заметим, что числа и являются иррациональными.

Определение 1.9. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется вещественными или действительными числами.

Существуют также числа вида:

где и – действительные числа, . Такие числа называются комплексными. В поле комплексных можно извлекать корень квадратный из -1 в отличие от поля действительных чисел.

Примеры числовых множеств:

1) – множество натуральных чисел, 2) – множество целых чисел, 3) – множество рациональных чисел, 4) – множество иррациональных чисел, 5) трансцендентные числа, 6) – множество действительных чисел, 7) – множество комплексных чисел.

Между числовыми множествами существует следующая связь:

Контрольные вопросы

1. Запишите ассоциативный, дистрибутивный и коммутативный законы операций над множествами. 2. Свойства идемпотентности операций объединения и пересечения. 3. Законы де Моргана. 4. Какие числа называются натуральными? 5. Позиционная и непозиционная система счисления. 6. Какие числа называются целыми? 7. Рациональные числа. 8. Какие числа называются иррациональными? 9. Алгебраические числа и трансцендентные. 10. Действительные числа. 11. Комплексные числа.