Матрица перехода для ортонормированного базиса
Пусть в рассмотренных выше случаях базисы ортонормированны а ЕП - вещественно. Заметим, что ЛО вещественный, если его матрица действительна. В ОНБ элемент линейного пространства (ЛП) равен
. Элемент базиса 
имеет вид:
(50.7),
где 
- элемент базиса
. При этом матрица перехода C должна обладать свойством:
(50.8)
В самом деле, т.к. - ОНБ, то
(50.9)
Подставляя вместо fi и fj в (50.9) их выражения из (50.7), получим:
, т.е
ибо 
- ОНБ, и поэтому 
) следовательно
(ибо - ОНБ, и поэтому 
), т.е. 
, и равенство (50.8) доказано.