Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора

Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ЛО). Инвариантные подпространства

 

Определение:Оператор A1 (некая функция) перехода из одного линейного пространства в другое называется линейным, если выполняются два требования:

1.

2.

Пусть в пространстве есть базис , в пространстве базис и в пространстве -. И пусть имеется схема переходов между пространствами с помощью ЛО:

Разложим образы по базису :

(50.1)

Определение: Матрица вида (i-ый столбец которой есть координаты A1(ei)) по базису ) называется матрицей ЛО А1 по базису .

 

Найдем преобразование координат:

Т.е. (50.2)

 

Можно записать иначе:

Теперь пусть A3=A2A1, т.е. (по определению) A3(x)=A2(A1(x)). Пусть ЛО А2 имеет матрицу , т.е. (50.3)

Докажем, что преобразование A3 имеет матрицу C=BA, т.е. найдем матрицу суперпозиции.

, где , т.е. BA=C (- матрица ЛО А3 в базисе ).