Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора
Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ЛО). Инвариантные подпространства
Определение:Оператор A1 (некая функция) перехода из одного линейного пространства в другое называется линейным, если выполняются два требования:
1.
2.
Пусть в пространстве есть базис , в пространстве базис и в пространстве -. И пусть имеется схема переходов между пространствами с помощью ЛО:
Разложим образы по базису :
(50.1)
Определение: Матрица вида (i-ый столбец которой есть координаты A1(ei)) по базису ) называется матрицей ЛО А1 по базису .
Найдем преобразование координат:
Т.е. (50.2)
Можно записать иначе:
Теперь пусть A3=A2A1, т.е. (по определению) A3(x)=A2(A1(x)). Пусть ЛО А2 имеет матрицу , т.е. (50.3)
Докажем, что преобразование A3 имеет матрицу C=BA, т.е. найдем матрицу суперпозиции.
, где , т.е. BA=C (- матрица ЛО А3 в базисе ).