Обчислення поверхневого інтегралу І типу
Визначення поверхневого інтегралу І типу
Двобічні і однобічні поверхні
План
Лекція 46. Поверхневі інтеграли І типу
- Двобічні і однобічні поверхні
- Визначення поверхневого інтегралу І типу
- Обчислення поверхневого інтегралу І типу
Нехай поверхня визначена явно за допомогою рівняння
.
Така поверхня не обмежує ніяке тіло, вона є незамкненою. Тут можна визначити верхню і нижню сторони поверхні. Якщо поверхня обмежує якесь тіло, то для неї можна визначити внутрішню і зовнішню сторони.
Розглянемо гладку поверхню , яка може бути замкненою чи обмеженою кусково-гладким контуром. В кожній точці такої поверхні до неї можна провести дотичну площину. Візьмемо на поверхні деяку точку , побудуємо в ній нормаль визначеного напрямку. Побудуємо на поверхні замкнений контур , який не перетинає меж поверхні. Будемо обходити цей контур, будуючи в кожній його точці нормаль до поверхні (неперевно змінюючи нормаль). При поверненні в точку можливі два випадки:
· Ми повернемося в з тим же нарямком нормалі, з яким виходили з неї;
· Ми повернемося в з протилежним нарямком нормалі.
Якщо для поверхні завжди має місце перший випадок, то поверхня є двобічною, якщо для поверхні можливим є другий випадок, то поверхня однобічна. Прикладом однобічної поверхні є лист Мьобіуса.
Далі розглядаємо лише двобічні поверхні.
Визначення. Сукупність усіх точок поверхні з визначеними напрямками нормалей в них називається стороною поверхні.
Приклад. Нехай поверхня визначена за допомогою рівняння , функція неперервна в деякій області , і , - неперервні в .Тоді направляючі косінуси нормалі до поверхні мають вид:
, , .
Якщо , то кут між поверхнею і віссю OZменше за , визначена верхня сторона поверхні, для визначається нижня сторона поверхні.
Нехай - двобічна гладка чи кусково-гладка поверхня. На визначена функція . Розібємо за допомогою довільних кусково-гладких кривих на частки , , ..., . Візьмемо довільно в кожній частці точку і обчислимо . Значення помножимо на площу , яку позначатимемо , тоді сума
Називається інтегральною сумою для поверхневого інтеграла І типу.
Позначимо:
.
Визначення. Якщо існує
,
яка не залежить ні від способу розбивки на частки, ні від вибору проміжкових точок , то ця границя називається поверхневим інтегралом І типу від функції по поверхні і позначається
.
Нехай поверхня визначається параметрично:
.
Позначимо:
.
називаються гаусовими коефіцієнтами поверхні.
Нехай визначена в точках поверхні і обмежена, тоді:
.
Нехай тепер поверхня визначена: . Якщо розглянути як параметри, то параметричне завдання цієїповерхні буде мати вигляд:
.
Для такого визначення поверхні:
, , ,
Тоді
.
Завдання. Обчислити
,
де - еліпсоід . Параметричне завдання еліпсоіду:
.
При правильному обчисленні результат повинен дорівнювати: .