Існування та обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду
Визначення та властивості криволінійного інтегралу ІІ роду
Побудова інтегральної суми для криволінійного інтегралу ІІ роду
План
Лекція 42. Криволінійні інтеграли ІІ роду
Вопросы
- Чем интегральная сумма для криволинейного интеграла ІІ рода отличается от интегральной суммы для криволинейного интеграла І рода?
- Построение интегральной суммы для криволинейного интеграла ІІ рода.
- Определение криволинейного интеграла ІІ рода.
- Общий вид криволинейного интеграла ІІ рода.
- Формулы вычисления криволинейного интеграла ІІ рода для разных способов задания кривой.
- Побудова інтегральної суми для криволінійного інтегралу ІІ роду
- Визначення та властивості криволінійного інтегралу ІІ роду
- Існування та обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду
- Випадок замкненої кривої. Орієнтація площини
Нехай задана неперервна крива (яку ми для простоти спочатку припустимо незамкненою), і нехай вздовж неї визначена деяка функція . Розібємо криву точками , на часткові дуги . На кожній дузі , , оберемо довільно точки . Обчислимо в кожній точці значення функції , але ці значення будемо множити не на довжину відповідної часткової дуги , а на значення проекції цієї дуги на вісь ОХ (рис.1), тобто на
. (10)
Побудуємо суму, яку назвемо інтегральною сумою для криволінійного інтегралу ІІ роду:
= . (20)
Нехай
.
Якщо при сума (20) має скінченну границю
,
яка не залежить ні від способу розбивки на частки , ні від вибору проміжкових точок , то ця границя називається криволінійним інтегралом ІІ роду від по кривій і позначається:
.
Аналогічно, якщо помножити не на , а на і побудувати суму
= ,
то
дасть нам криволінійний інтеграл ІІ роду від :
.
Якщо вздовж кривої визначені дві функції і існують:
, ,
то їх суму називають криволінійним інтегралом ІІ роду загального виду і позначають:
.
Зауваження. Значенні криволінійного інтеграла ІІ роду залежить від напрямку, який обрано на кривій:
,
,
до того ж з існування інтеграла зправа витікає існування інтеграла зліва і навпаки.
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій, яка знаходиться не на площині, а в тривимірному просторі.
Нехай крива визначена параметрично:
, (25)
функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до ; і вздовж неперервні.
Теорема. При зроблених припущеннях криволінійний інтеграл ІІ роду існує і
. (30)
Порядок розташування границь інтегрування відповідає обраному на кривій напрямку.
Доказ. Нехай точки , визначаються значеннями параметру , а обрані на дугах точки , , значеннями параметру, які позначимо через . Тоді інтегральна сума , якщо врахувати, що
,
може бути записана у вигляді:
. (40)
З іншого боку, інтеграл в (30) справа можна представити наступним чином:
. (50)
Тоді, враховуючи (40),(50), отримаємо:
(60)
Візмемо . Оскільки неперервна на , то вона рівномірно неперервна на , тому можна розбити на частки так, щоб на кожному частковому сегменті коливання функції були меньше за . Функція неперервна на , тому обмежена на , тобто така, що для . Тоді
(70)
Позначимо
, ,
тоді з (70) витікає, що
,
що і треба було довести.
Аналогічно, якщо крива визначена за допомогою (25), функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до ; і вздовж неперервні, то
.
Порядок розташування границь інтегрування відповідає обраному на кривій напрямку.
Якщо крива визначена за допомогою (25), функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до ; , вздовж неперервні, то криволінійний інтеграл ІІ роду загального виду обчислюється за формулою:
.
Нехай криволінійний інтеграл ІІ роду береться по кривій, яка визначається за допомогою рівняння
, (80)
тоді формула (30) приймає вид:
. (90)
Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл ІІ роду , де визначається наступним чином: , що проходиться від точки з абсцисою до точки з абсцисою .
Відповідно до формули (90) маємо:
.
Зауваження 1. Криволінійний інтеграл ІІ роду , якщо крива - це відрізок, паралельний осі ОУ (відрізок, паралельний осі ОХ).
Зауваження 2. Нехай точка належить кривій , тоді:
.