Интеграл по значению Коши. Сравнение сходимости интеграла по значению Коши и несобственного интеграла
План
Ліквація в литому металі
Утворення усадочної раковини
Будова дендритного кристала
При кристалізації виникають спочатку первинні, потім вторинні і т.д. осі. Порушення форми при стиканні кристалів. Початок кристалізації від холодних стінок ливарної форми, зона дрібних рівноважних кристалів. Далі йде зона стовбчастих кристалів, які орієнтовані у напрямку відводу тепла. Інколи ці кристали сягають до осі зливка. При повільному охолодженні і малому перегріві у центрі зливка також з’являються центри кристалізації. Але їх звичайно мало, тому утворюються великі рівновісні кристали.
Це здійснюється за рахунок зменшення об’єму металу під час кристалізації. Місце розташування раковини там, де закінчується кристалізація. Якщо застосовується утеплений додаток, в ньому утворюється усадочна раковина, яка видаляється від виробу. Таке робиться зі зливками спокійних сталей.
Це нерівномірність розподілу легуючих елементів та домішок за перерізом зерна (внутрикристалічна ліквація), за перерізом виробу (зональна ліквація), за висотою виробу (ліквація за питомою вагою).
Вплив ліквації на пластичність зливків – негативний. Необхідність проведення гомогенізаційного відпалення для зменшення внутрикристалічної ліквації. Ліквація зумовлює текстуру деформованого металу.
Причини появи ліквації. Способи її зниження та усунення: напівбезперервне та безперервне лиття, лиття в електромагнітні кристалізатори, використання спеціального хімічного складу (антифрикційний сплав Б83), гомогенізація виливків.
- Сведение несобственного интеграла ІІ рода к несобственному интегралу І рода
Интеграл по значению Коши. Сравнение сходимости интеграла по значению Коши и несобственного интеграла
1. Сведение несобственного интеграла ІІ рода к несобственному интегралу І рода
Пусть - НИ ІІ рода, - особая точка подинтегральной функции. Сделаем замену при вычислении НИ ІІ рода: . В результате получим:
Таким образом, существование равносильно существованию , а поэтому сходимость (расходимость) НИ ІІ рода равносильна сходимости (расходимости) НИ І рода . Если один из них сходится, то
.
Пусть функция определена на . Допустим, что для т. - особая. Тогда, в соответствии с лекцией 39, имеем:
.
Если не существует хотя бы один из этих пределов, то НИ ІІ рода является расходящимся. Тут - независимые друг от друга.
Коши предложил вариант, когда :
.
При таком вычислении уже не являются независимыми – они равны. Такой способ вычисления не является общим. Возможны такие случаи, когда пределы , отдельно не существуют, но существует предел суммы . Тогда такой предел называется главным значением по Коши несобственного интеграла (или интегралом по значению Коши) и обозначается
.
Пусть определена на , а НИ І рода
где независимо друг от друга, расходится. Но может случиться, что если взять симметричный промежуток, т.е. , то он будет существовать. Тогда этот предел называется НИ І рода за Коши и обозначается:
.
Пример. Рассмотрим НИ І рода . В классическом определении НИ І рода он является расходящимся, поскольку:
не существует.
Но
.
.
Целесообразность такого вычисления для рассмотренного примера становится очевидной из рис.1.
Рис.1.
Пример. Рассмотрим , где . Этот НИ ІІ рода, как было установлено в предыдущей лекции, расходится. Вычислим его значение по Коши:
Таким образом, по Коши интеграл является сходящимся.
Пример. Интеграл , где , является расходящимся в классическом смысле. Но
Утверждение 1. Если функция определена на и является нечетной, то
,
а если - четная, то
.
Доказательство. Пусть определена на и является нечетной. Тогда:
Аналогично для четной функции.